[APIO2010]特别行动队

题目描述

你有一支由 $n$ 名预备役士兵组成的部队，士兵从 $1$ 到 $n$ 编号，你要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如 $(i, i + 1, \cdots i + k)$的序列。所有的队员都应该属于且仅属于一支特别行动队。

编号为 $i$的士兵的初始战斗力为 $x_i$，一支特别行动队的初始战斗力 $X$ 为队内士兵初始战斗力之和，即 $X = x_i + x_{i+1} + \cdots + x_{i+k}$。

通过长期的观察，你总结出对于一支初始战斗力为 $X$ 的特别行动队，其修正战斗力 $X'= aX^2+bX+c$，其中 $a,~b,~c$ 是已知的系数$(a < 0)$。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队的修正战斗力之和最大。试求出这个最大和。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$，代表士兵的人数。

输入的第二行有三个用空格隔开的整数，依次代表 $a,~b,~c$，即修正战斗力的系数。

输入的第三行有$n$个用空格隔开的整数，第 $i$ 个整数代表编号为 $i$ 的士兵的初始战斗力$x_i$。

输出格式

输出一行一个整数，代表最大的所有特别行动队战斗力之和。

输入输出样例

输入 

4 
-1 10 -20 
2 2 3 4 

输出

9

说明/提示

样例输入输出 1 解释

你有 $4$ 名士兵，$x_1 = 2,~x_2 = 2,~x_3 = 3,~x_4=4$。修正战斗力公式中的参数为 $a = -1,~b = 10,~c = -20$。

此时，最佳方案是将士兵组成 $3$ 个特别行动队：第一队包含士兵 $1$ 和士兵 $2$，第二队包含士兵 $3$，第三队包含士兵 $4$。特别行动队的初始战斗力分别为 $4,~3,~4$，修正后的战斗力分别为 $-4^2 + 10 \times 4 -20 = 4$，$-3^2 - 10 \times 3 - 20 = 1$，$-4^2 + 10 \times 4 -20 = 4$。修正后的战斗力和为 $4 + 1 + 4 = 9$，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

数据范围与约定

对于 $20\%$ 的数据，$n \leq 10^3$。

对于 $50\%$的数据，$n \leq 10^4$

对于 $100\%$的数据，$1 \leq n \leq 10^6$，$-5 \leq a \leq -1$，$-10^7 \leq b \leq 10^7$，$-10^7 \leq c \leq 10^7$，$1 \leq x_i \leq 100$。

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Solution:

这道题应该是比较板的斜优了。

首先把$Dp$式子写起来，设$f\left [ i \right ]$表示$1$到$i$分成若干组的最大战斗力。所以：

$$f\left [ i \right ]= \max\left \{ f\left [ j \right ]+a\times \left ( sum\left [ i \right ] -sum\left [ j \right ]\right )^{2}+b
\times \left ( sum\left [ i \right ] -sum\left [ j \right ]\right ) + c \right \}$$

其中$j< i$。

把$\max$去掉。因为我们要求的是$f[i]$，所以我们把已知的有关$j$的项都移到等式左边去，含$i$的未知的项都丢到右边，所以化出来就是这样：

$$f[j]+a \times sum[j]^2-b \times sum[j]=sum[i] \times (2 \times sum[j] \times a-b-a \times sum[i])+f[i]-c$$

所以$y=f[j]+a \times sum[j]^2-b \times sum[j]$,$k=sum[i] $,$x=2 \times sum[j] \times a-b-a \times sum[i]$,$b=f[i]-c$。

因为我们之前求的$f[j]$是最大的，而这条直线的斜率是一定的，所以当$y$最大时，截距也最大，因为$c$是一定的，所以此时$f[i]$也最大。

因为$sum[i]$是单调递增的，所以斜率是单调递增的，所以直接用单调队列维护即可。

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$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
long long n,sum[N],x[N],l=1,r=1,q[N];
long long f[N],a,b,c;
long double slop(long long i,long long j){
    return (long double)(f[j]+a*sum[j]*sum[j]-b*sum[j]-f[i]-a*sum[i]*sum[i]+b*sum[i])/(long double)(2*a*sum[j]-2*a*sum[i]);
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&x[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+x[i];
    }
    q[1]=0;
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=sum[i]) l++;
        f[i]=f[q[l]]+a*(sum[i]-sum[q[l]])*(sum[i]-sum[q[l]])+b*(sum[i]-sum[q[l]])+c;
        while(l<r&&slop(q[r-1],q[r])>=slop(q[r],i)) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}