傅里叶变换以及快速傅里叶变换在雷达信号处理中的应用

　　傅里叶变换应该是在大一或者大二的时候就开始接触了，一直对其都是一知半解的状态。不是很清楚到底是干啥的，想趁着国庆假期好好学习一下（主要是算法太难了，想换换心情，算法太虐了）。本文参考了几位大佬的文章再加上一些FFT在雷达信号处理的用处以及自己的一点理解，另外本文只是简单了解傅里也变换的基础定义和内容，不涉及具体的公式推导。

1、傅里叶变换（FT）的目的

　　傅里叶变换的目的是将时域（即时间域）上的信号转换到频率域上的信号。随着域的不同，对同一个事物的了解角度也就随之改变，因此有时在时域中不好处理和观察的信号，在频域上却能更好的观察和处理。具体傅里叶变换的公式和推导大家可以看一下相关书籍的推导过程。

2、为什么要进行傅里叶变换

　　关于为什么要进行傅里叶变换，有一个很经典的声音的例子，如果大家感兴趣可以去B站搜《形象展示傅里叶变换》上面讲的很形象生动。

　　首先发送一个每秒440拍的纯A音，意思是若你测量耳机或扬声器附近的气压，将其当成时间的函数，那么这个函数会在它的平衡点附近上下振荡。如下面照片所示。每秒钟会产生440次振荡。

　　其次对于一个更低的音调，比如D音，与A音相比，结构是相同的，只是每秒节拍数变少。

　　之后，当两个音同时播放时,最后的压强-时间图像是什么样的呢？

　　在任意时刻，压强的变化就是每个音调产生的压强的总和。

　　这个合成的东西看起来多少有点复杂，从图中的结果可以看出，在某些时刻A音和D音两个峰值会相互叠加产生一个很高的气压，而在另外的某些时刻，A音和D音的两个峰值相互抵消。总体来说最后得到一个波浪型的图，得到的图不是一个简单的正弦波，而是更复杂的波形。

两个音合成曲

两峰值相互重合的情况

两峰相互抵消

两个信号叠加动画图

　　当我们加入更多的音调例如F音和C音，波形也会越来越复杂。

多个音符合成的效果图

多个音符合成动态图

但光从组合来看其实就是四个纯音符组合得到的结果，但从合成波形来看，却很复杂。而关于声音信号的提取装置-------麦克风来说，他在记录声音时，只能获取不同时刻的气压值，只知道最后的总和，也就是图中的合成信号。所以现在的问题就出来了，要如何通过测量的合成信号分解为其中纯音的频率呢？那就要我们的傅里叶变换登场了。傅立叶变换（的三角函数形式）的基本原理是：多个正余弦波叠加（蓝色）可以用来近似任何一个原始的周期函数（红色）。

　　可以简单地理解为，我们去菜市场买菜的时候，无论质量如何奇怪，都可以转变为“5个 1 斤的砝码，2个 1 两的砝码”来表示出来，那么上面的图我们也可以近似地想象成周期函数就是质量特别奇怪的物品，而正余弦波就是想像成成“我用了5个1号波、3个2号波”来表示这个周期函数。

　　还是有点迷糊？那看看如何正弦波变成周期函数的（大佬们这个怎么画的可否评论区教我一下）。

上面这些是不是和声音的例子结合了起来，不同声音是不同的音的组合（本质上也是波也可认为是正弦波），而周期函数是不同的正弦波组成。可能这样看还不够明显。那咱们分开看看（动态图中最后合成的波形的左上侧那个调节的n，个人认为应该是指的sin(nx)中的n）。

　　这样是不是更清楚的看出来了。

3、时域和频域

　　看完上面的知识点，这些基本上都是在时域里进行的，而傅里叶变换则是将状态从时域变换到频域中进行解析的，那么我们有必要学习一下时域和频域。

　　为什么要进行频域分析
　　1）信号不只和时间有关，还和频率有关，在不同频率下信号的响应是不一样的，所以就要知道信号随着频率是怎么变化的。

　　2）还有信号的计算，在时间域内往往要解微分方程，而用傅立叶和拉普拉斯变换到复频域后就变成了代数方程，求解起来很方便。
　　3）从频谱图上可以看到幅值和相位随着频率变化是如何响应的，也可以求出系统的截止频率。

　　4）无需求解微分方程，图解(频率特性图)法，间接揭示系统性能并指明改进性能的方向和易于实验分析.可推广应用于某些非线性系统(如含有延迟环节的系统)以及可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

　　关于时域和频域我们先看一下另一篇文章是如何讲解的，个人觉得很形象易懂。

　　标准正式版

　　1、时域（时间域）——自变量是时间,即横轴是时间,纵轴是信号的变化。其动态信号x（t）是描述信号在不同时刻取值的函数。

　　2、频域（频率域）——自变量是频率,即横轴是频率,纵轴是该频率信号的幅度,也就是通常说的频谱图。
下面是图文讲解：

　　图1是正弦波的时域图，示出了振幅与时间的关系。在时域图中，横轴是时间，纵轴是振幅。时域图显示振幅随时间的变化，可以看出峰值振幅为5V，可以算出频率f=6 Hz。

　　图2是图1中正弦波的频域图在频域图中，横轴是频率，纵轴是峰值振幅。频域图仅仅示出峰值振幅与频率，而不显示振幅随时间的变化。从频域图可以看出，正弦波的频率为6Hz，这个6Hz的正弦波的峰值振幅为5V 。频域图的优点是，从频域图中，可以一眼看出正弦波的频率和峰值振幅整个正弦波在频域图上只是一个立柱立柱的位置显示了正弦波的频率立柱的高度显示了正弦波的峰值振幅。

　　非正式

　　看完正式版的我们再看一个不太正式的例子解释。

　　时间是永远在流动的花谢花开、潮来潮往，世界永远在不停地变化，而以时间为参照系去看待这个世界，我们就叫它时域分析。就好像心电图一样，心电图是记录心脏每一心动周期所产生的电活动变化，所以随着时间变化心电图也会变化。这就是时域。

　　而频域呢，就是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系，频域就是装着正弦函数的空间，自然而然的，正余弦波是频域中唯一存在的波形。

心电图符号

　　我们从时域我们可以观察到心脏随着时间变化在不停地跳动的情形，但是从频域来看，就是一个简单的心电图符号。如果时域是运动永不停止的，那么频域就是静止的（不过要是心跳加快的话心电图符号应该会变吧，因为频率改变了）。

　　我们从时域我们可以观察到心脏随着时间变化在不停地跳动的情形，但是从频域来看，就是一个简单的心电图符号。如果时域是运动永不停止的，那么频域就是静止的。

　　在很多领域我们都可以用到时域和频域，在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。

　　刚刚我们讲了多个正余弦波叠加可以用来近似任何一个原始的周期函数，我们心脏不同时间、不同强度的跳动就成了我们所看到的心电图。就可以看作正余弦波叠加成的周期函数。同样的，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲，也可以看作余弦波叠加成的周期函数。

　　而对于信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性傅里叶变换实质涉及的是频域函数和时域函数的转换。

　　通过上面我们对时域和频域的了解，可以知道对于由多个不同频率的正弦信号组成的矩形信号来说，他的频域图如下图所示。

　　一般书上到这就结束了，然后就是你猜的阶段。其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是

　　再精细一点：

　　在这两幅图中，最前面的黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是最接近矩形波的那个图形。而后面以不同颜色排列开的分别是sin(nx),n=1,3,5,7,......对应的正弦波。而这些正弦波正是组合成矩形波的分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。同时每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

　　这里，不同频率的正弦波我们称为频率分量。

　　接下来就是关键的地方，

　　如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。

　　对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

　　时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为

　　有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

　　说了那么多正弦波，可能有的已经忘了它的定义，既然气氛都到这了我们不回忆一下正弦波好像有点不合适。看图。

　　正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆（可参见本文第二节最后一个动图，更有利于理解，算了再贴一次吧，我也不喜欢往上翻）

　　介绍完这些后我们回头再看看矩形波的频域变换

　　在频谱中，偶数项的振幅都是0，奇数项的振幅随着频率由前到后依次减小。

　　从以上的信息，通过时域到频域的变换，我们得到了我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。

4、相位谱信息

　　关于相位谱信息话不多说直接上图，图中是7个波叠加的图（奇数4个，偶数三个）。

　　鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。

　　这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

　　在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。

　　注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。这个主要是三角函数的相位谱造成的。

　　我个人对这个图不是很理解。特别是投影出来的相位-频率坐标里的表示不是很理解，后面查阅了相关资料，里面说三角函数的相位谱是在（-pi,pi）范围内。而矩形波（偶对称）用三角函数表示得到的相位谱关系如下图所示（傅里叶级数中只有sin表示）。

满足上述条件的情况下相位谱结果为（傅里叶级数仅用sin表示，没有cos）：

另外傅里叶级数仅有cos，没有sin的相位谱结果为

　　上面是关于傅里叶级数的三角函数相位谱，关于傅里叶级数的指数函数相位谱大家可参照信号的相位谱。个人认为为什么上面说相位谱不是0就是pi，主要是傅里叶级数用cos表示。个人觉得看这张图会更明显一些，图中点1也就是sin(wt)对应上面所说的相位谱为0的点。点3（sin(3wt)）对应的就是相位谱为pi的点。依次类推进行对比。