参考内容：B站的DR_CAN的卡尔曼滤波器视频

本节内容：

　　1、数据融合

　　2、协方差矩阵

　　3、状态空间方程

　　4、观测器

1、数据融合

     假设两个秤对同一个物体进行测量，一个测量的结果为z1=30g,标准差σ1=2g，另一个测量的结果为z2=32g,σ2=4g，二者都服从正太分布。那么估计这个真实值。

 

 

　　若要从数学上找到一个最优的估计结果，需要用到上一篇文章卡尔曼滤波算法：KF中的卡尔曼增益K的思想。

其中K就是所说的kalman增益，K∈[0,1];可以看出当K=0时，，当K=0时，。

接下来就是求解K了，目标是求K，使得最小。

 

 

若要求在卡尔曼增益K的条件的最小值，只需要对其进行求导。即：

把方差带入方程中可以得到K=4/（4+16）=0.2；然后把K带入到得到结果为30.4（最优解）。最优的估计值为30.4，相应的方差=（1-0.2）^2*4+0.2^2*16=3.2;

2、协方差矩阵：

        将方差、协方差在一个矩阵中表现出来-------变量间的联动关系。

 　　例：下面为相应球员的身高、体重、年龄。计算他们相应的方差和协方差。

 

 方差：

 同理可以计算得到体重和年龄的方差。

 

相应的协方差计算

 

 如果大于零，则两个变量的变化方向是一致的，如果是负的，则两者的变化方向是不同，同理还可求得。，。

 

可以得到协方差矩阵：

 

 

增加一个过度矩阵：

 

　　关于P的具体推导这里就不罗嗦了，非常简单，大家可以试一下下面就是上面15个数据的协方差矩阵。

　　从身高、体重、年龄的方差来看，其值还是很大的。从结果看出跟身高、年龄、体重的关系并不大。接着看身高和体重的协方差为29.75，可以看出身高和体重是非常正相关，很符合实际情况。再看年龄和身高、体重的协方差非常小。可以看出年龄和身高、体重的关系就非常小了。

3、状态空间表达

一个弹簧振荡阻尼系统，他的质量是m，施加一个力F，向右的方向是x，弹簧的系数是K，B是阻尼系数。

　　动态方程的表达式为：

　　其中、 是对应的二阶导数和一阶导数。可以把F定义为u，也就是系统的输入。

　　若将其化成状态空间的表达形式需要确定两个状态变量，可以令：

 　　那么

　　另外：

　　所以可以得到：

 

　　这样就可以用两个一阶微分方程将结果表示出来了。

　　测量：位置z1,速度z2

 

　　将相应的结果用矩阵来表示可以得到：

 　　这就是状态空间的表达形式；归纳出来可以得到。

 　　这个是连续时间的表示，写成离散的形式可写成

 　　其中下标k表示的是采样时间（sample time）。又因为可能存在一些噪声和误差。所以上式可以写成。

 

 

 　　wk-1是过程噪声，vk-1是测量噪声。所以得到的xk和zk都存在不确定性，在这两个都不确定的情况下如何去估计一个精确的，这就是kalman滤波器需要解决的问题。

　　再回顾一下数据融合的例子，其实现在的情况和其很类似，现在有一个不太准确的计算结果和一个不太准确的测量结果，根据这两个结果来估计出来一个相对更准确的值，找到一个误差比他们两个都要小的结果。这也是后面要去分析的具体内容。