（转载）poj 3468 树状数组解法

（部分选择）

一 算法    

    树状数组天生用来动态维护数组前缀和，其特点是每次更新一个元素的值，查询只能查数组的前缀和，

但这个题目求的是某一区间的数组和，而且要支持批量更新某一区间内元素的值，怎么办呢？实际上，

还是可以把问题转化为求数组的前缀和。

 

    首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示

A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：

1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以

2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d

 

    然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则

                            A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，

那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始

值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么

                            sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1

                                         = org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))

                                         = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x

这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和

delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。（delta[i]相当于一个值，与区间无关）

 

    树状数组的解法比朴素线段树快很多，如果把long long变量改成__int64，然后用C提交的话，可以达到1047ms，

排在22名，但很奇怪，如果用long long变量，用gcc提交的话就要慢很多。

 

#include <stdio.h>  
  
#define DEBUG  
  
#ifdef DEBUG  
#define debug(...) printf( __VA_ARGS__)   
#else  
#define debug(...)  
#endif  
  
#define N 100002  
  
#define lowbit(i) ( i & (-i) )  
  
/* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */  
long long c1[N];    /* 维护delta[i]的前缀和 */  
long long c2[N];    /* 维护delta[i]*i的前缀和 */  
long long sum[N];  
int       A[N];  
int n;  
  
long long query(long long *array, int i)  
{  
    long long tmp;  
  
    tmp = 0;  
    while (i > 0) {  
        tmp += array[i];  
        i -= lowbit(i);  
    }  
    return tmp;  
}  
  
void update(long long *array, int i, long long d)   
{  
    while (i <= n) {  
        array[i] += d;  
        i += lowbit(i);  
    }  
}  
  
int main()   
{  
    int         q, i, s, t, d;  
    long long   ans;  
    char        action;  
  
    scanf("%d %d", &n, &q);  
    for (i = 1; i <= n; i++) {  
        scanf("%d", A+i);  
    }  
    for (i = 1; i <= n; i++) {  
        sum[i] = sum[i-1] + A[i];  
    }  
  
    while (q--) {  
        getchar();  
        scanf("%c %d %d", &action, &s, &t);  
        if (action == 'Q') {  
            ans = sum[t] - sum[s-1];  
            ans += (t+1)*query(c1, t) - query(c2, t);  
            ans -= (s*query(c1, s-1) - query(c2, s-1));  
            printf("%lld\n", ans);  
        }  
        else {  
            scanf("%d", &d);  
            /* 把delta[i](s<=i<=t)加d，策略是 
             *先把[s,n]内的增量加d，再把[t+1,n]的增量减d 
             */  
            update(c1, s, d);  
            update(c1, t+1, -d);  
            update(c2, s, d*s);  
            update(c2, t+1, -d*(t+1));  
        }  
    }  
    return 0;  
} 

原文网址：http://kenby.iteye.com/blog/962159