多头自注意力复杂度分析方法

多头自注意力（Multi-Head Self-Attention, MHSA）是 Transformer 结构的核心模块之一，其时间复杂度主要受输入序列长度 ( L ) 和隐藏维度 ( d ) 影响。下面我们详细分析其计算复杂度。

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1. 多头自注意力计算流程

假设输入张量为：

• 输入： ( X \in \mathbb{R}^{L \times d} )，其中 ( L ) 是序列长度，( d ) 是特征维度。
• 头数： ( h )，每个头的维度为 ( d_h = d / h )。
• 权重矩阵：
  • 查询矩阵 ( W_Q \in \mathbb{R}^{d \times d} )
  • 键矩阵 ( W_K \in \mathbb{R}^{d \times d} )
  • 值矩阵 ( W_V \in \mathbb{R}^{d \times d} )
  • 输出变换矩阵 ( W_O \in \mathbb{R}^{d \times d} )

整个计算流程如下：

1. 计算 ( Q, K, V ) 矩阵：
   [
   Q = X W_Q, \quad K = X W_K, \quad V = X W_V
   ]

   • 每个运算的时间复杂度：( O(L d^2) )。

2. 计算注意力权重（点积注意力）：
   [
   A = \text{softmax} \left( \frac{Q K^T}{\sqrt{d_h}} \right)
   ]

   • 矩阵乘法 ( Q K^T ) 复杂度：( O(L^2 d) )（每个头的计算量是 ( O(L^2 d_h) )，总共 ( h ) 个头，总体积累后仍为 ( O(L^2 d) )）。
   • softmax 操作复杂度：( O(L^2) )，可忽略不计。

3. 计算注意力输出：
   [
   Z = A V
   ]

   • 矩阵乘法 ( A V ) 复杂度：( O(L^2 d) )。

4. 投影回输出空间：
   [
   Y = Z W_O
   ]

   • 复杂度：( O(L d^2) )。

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2. 计算时间复杂度

综合上述步骤，各部分时间复杂度如下：

计算步骤	复杂度
计算 ( Q, K, V )	( O(L d^2) )
计算注意力权重 ( Q K^T )	( O(L^2 d) )
计算注意力加权 ( A V )	( O(L^2 d) )
输出投影 ( Z W_O )	( O(L d^2) )
总复杂度	( O(L d^2 + L^2 d) )

通常，在 Transformer 中：

• 如果 ( L ) 较小，( O(L d^2) ) 主导计算；
• 如果 ( L ) 较大，( O(L^2 d) ) 变成主要计算瓶颈。

在标准 Transformer 结构中，( d ) 通常是固定的，比如 512 或 1024，而 ( L ) 可能较大（如 512、1024、2048 等），所以 时间复杂度通常由 ( O(L^2 d) ) 主导，导致 MHSA 在长序列任务中计算开销较大。

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3. 复杂度优化方法

为了降低计算复杂度，研究者提出了多种优化方法：

• Sparse Attention（稀疏注意力）：仅计算部分 ( QK^T )（如 Longformer、BigBird），将复杂度降至 ( O(L \log L) ) 或 ( O(L) )。
• Low-rank Approximation（低秩近似）：使用因式分解（如 Linformer）降低复杂度到 ( O(L d) )。
• Performer / Linformer（线性注意力）：用核技巧近似计算 ( QK^T )，降低复杂度到 ( O(L d) )。
• Sliding Window Attention（滑动窗口注意力）：限制注意力范围（如 Transformer-XL）。

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4. 总结

• 标准多头自注意力的时间复杂度是 ( O(L^2 d) )，主要受 ( QK^T ) 计算 影响。
• 当序列长度 ( L ) 变大时，计算瓶颈主要来自 ( O(L^2 d) )。
• 许多优化方法（如稀疏注意力、低秩分解）可以降低复杂度，使 Transformer 适用于长序列任务。

如果你对某个优化方法的具体实现感兴趣，可以告诉我，我可以详细讲解或提供代码示例！ 😊