最小生成树
算法思想：kruskal：将边按长度从小到大排序，每次取出一条边并运用并查集检测两点之间是否已经有通路，如果有就不选，如果没有就将该边作为最小生成树的边。Prim：从1顶点开始找距离1最近的点纳入集合并更新其他点距离该集合点的距离，每次选距离集合最短路径纳入集合，直到边数等于n-1。
主要/核心函数分析：float kruskal(int n, int m)：将边按长度从小到大排序，每次取出一条边并运用并查集检测两点之间是否已经有通路，如果有就不选，如果没有就将该边作为最小生成树的边，将边的编号纳入最小生成树路径的数组中。void prim()：将1纳入集合，每次选取距离集合最近的点纳入集合，最后再更新其他点到集合的距离（同时记录该点到集合中哪个点最短便于路径的输出）。
测试数据：
4 4
1 2 1
2 3 4
2 4 2
3 4 3
运行结果：
边:
1----2
2----4
3----4
KrusKal的最小权值:6
边：
2----1
4----2
3----4
Prim的最小权值:6
时间复杂度：Prim是O（点数的平方）；Kruskal是O（边数*log边数）
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include <fstream> 5 using namespace std; 6 7 const int N = 1002;//点数 8 const int M = 100002;//边 9 const int INF = 100000; 10 int n, m;//输入点数和边数 11 int index[N];//存储生成树的边 12 13 int a[N][N]; 14 bool visit[N] = {};//节点是否已经被访问 15 int dist[N];//顶点与集合的距离 16 int knot[N]={0};//顶点与集合中哪一点距离最短 17 18 struct edge 19 { 20 int x, y;//起点和终点 21 float cost; 22 }Edges[M];//边 23 24 int father[N];//并查集 25 26 int findfather(int x) 27 { 28 int a = x; 29 int z; 30 31 //到这条边最初的起点 32 while (x != father[x]) 33 x = father[x]; 34 35 //路径压缩 36 while (a != father[a]) 37 { 38 z = a; 39 a = father[a]; 40 father[z] = x; 41 } 42 43 return x; 44 } 45 46 //比较权值 47 bool compare(edge a, edge b) { return a.cost < b.cost; } 48 49 float kruskal(int n, int m) 50 { 51 float sum = 0; 52 int edgenum = 0;//权和点数 53 54 for (int i = 1; i <= n; i++) 55 father[i] = i; 56 //初始化并查集 57 58 sort(Edges, Edges + m, compare);//从小到大排序 59 60 for (int i = 0; i < m; i++) 61 { 62 //判断该条边起点和终点在该边未加入时是否连通 63 int fax = findfather(Edges[i].x); 64 int fay = findfather(Edges[i].y); 65 66 //不连通则可以加入 67 if (fax != fay) 68 { 69 father[fax] = fay; 70 sum += Edges[i].cost; 71 index[edgenum++]=i; 72 if (edgenum == n - 1)break;//找到最小生成树 73 } 74 } 75 return sum; 76 } 77 78 void prim() 79 { 80 fill(dist, dist + N, INF);//赋初值 81 dist[1] = 0;//将1顶点纳入生成树 82 83 float sum = 0;//总费用 84 85 cout << "边：" << endl; 86 //找最小距离 87 for (int i = 1; i <= n; i++) 88 { 89 int minx = -1;//记录顶点 90 int mini = INF;//记录距离 91 92 for (int j = 1; j <= n; j++) 93 { 94 if (visit[j] == false && dist[j] <= mini) 95 { 96 minx = j; 97 mini = dist[j]; 98 } 99 }//找到与当前集合距离最近的节点 100 101 if (minx != -1)//找到符合条件的点 102 { 103 visit[minx] = true;//第minx号点已经访问过了 104 sum += dist[minx];//加入最小生成树,该点加入集合 105 if (i != 1) 106 cout << minx << "----" << knot[minx] << endl; 107 } 108 109 //更新剩余的点到集合的最短距离 110 for (int y = 1; y <= n; y++) 111 { 112 if (visit[y] == false && a[minx][y] != INF && a[minx][y] < dist[y]) 113 { 114 dist[y] = a[minx][y]; 115 knot[y] = minx; 116 } 117 } 118 } 119 cout<<"Prim的最小权值:"<<sum; 120 } 121 122 int main() 123 { 124 fstream fp; 125 fp.open("test.txt", ios::in); 126 127 fp >> n >> m;//初始化输入 128 fill(a[0], a[0] + N * N, INF);//初始化 129 for (int i = 0; i < m; i++) 130 { 131 fp >> Edges[i].x >> Edges[i].y >> Edges[i].cost; //初始化输入边 132 a[Edges[i].x][Edges[i].y] = a[Edges[i].y][Edges[i].x] = Edges[i].cost; 133 } 134 fp.close(); 135 136 float quanzhi1=kruskal(n,m); 137 cout << "边:" << endl; 138 for (int i = 0; i < n - 1; i++) 139 cout << Edges[index[i]].x << "----" << Edges[index[i]].y << endl; 140 cout << "KrusKal的最小权值:" << quanzhi1 << endl; 141 142 prim(); 143 144 return 0; 145 }
