【线性代数】第五章特征值和特征向量

Posted on 2023-08-23 20:10 SaTsuki26681534 阅读(2998) 评论(0) 收藏举报

1.特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义：
对于n阶矩阵A，如果存在一个数λ以及非零n维列向量α，使得 Aα = λα 成立
则称λ是矩阵A的一个特征值。非零向量α是矩阵A属于特征值的一个特征向量。

这个式子可以写成(λE-A)α = 0，α≠0，所以特征向量α可以说成这个齐次方程的非零解。

特征多项式和特征方程的定义：
根据上面的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式
|λE-A| = 0称为A的特征方程。（这个方程是关于特征值λ的）

求矩阵的特征值和特征向量的方法：
方法1：用定义法，根据Aα = λα推理分析，应该只适用于比较简单和特殊的情况，或者题目中有给出其他条件
方法2：用特征方程法，先由特征方程|λE-A| = 0解出所有的特征值λ，再根据特征向量的性质，将求出的特征值代入|λE-A| x= 0中，求出这个齐次线性方程的基础解系，求出的解即为矩阵A属于特征值λ的线性无关的特征向量。

关于特征值和特征向量的定理：

定理1：同一个矩阵的不同特征值对应的特征向量之间相互线性无关。
定理2：矩阵的所有特征值的累加和等于其主对角线元素累加和。矩阵的行列式值等于其所有特征值累乘的结果。

另外补充一条：
对于矩阵A关于同一个特征值的所有特征向量，则由这些特征向量线性表出的所有非零向量也是矩阵A关于此特征值的特征向量。

关于特征值的两条性质：

A的特征值为λ，则
A+kE的特征值为λ+k，A^m 的特征值为λ^m， A^(-1) 的特征值为λ^(-1)

2.相似矩阵

相似矩阵的定义：
对于n阶矩阵A,B，若存在可逆矩阵P使得P^-1×A×P = B，则称B是A的相似矩阵，或A与B相似即A~B

相似标准形：
若A~M，其中M是对角阵(除主对角线上元素之外其余都是0)，则称A可相似对角化，且称M是A的相似标准形。
矩阵相似的相关性质：
1.反身性：矩阵与自身相似
2.对称性：A~B -> B~A。A相似于B则B也相似于A
3.传递性：若A_B，BC，则A~C

矩阵相似的必要条件：（即根据矩阵相似能推导出的信息）

A~B
则A与B的：特征值、秩、行列式值、主对角线累加和都相等。

两个定理：
1.关于矩阵可对角化的条件

2.当矩阵能求出多个相同的特征值时，就直接称这个特征值为n重特征值

矩阵对角化的方法：
即如何求出合适的矩阵P，使得P^-1AP = M(对角矩阵)。

根据前面关于矩阵对角化的定理，可以知道只要能对角化，就一定有n个线性无关的特征向量。
将这n个特征向量拼接起来就能得到可逆矩阵P，并且得到的对角矩阵的主对角线元素即为这n个特征值。