【线性代数】线性方程组 如何求方程组的解/基础解系/通解

1.如何求齐次方程组的基础解系

前面已经学过：
基础解系的定义为：一个向量组中所有的向量都是原方程的解，并且线性无关，又能由这个向量组线性表出这个方程组的所有解。
先讲齐次方程组是因为它右侧常数都为0，解起来更为简单。
步骤：先对齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，直到化为行阶梯矩阵，得到一个同解方程组。
化为行阶梯矩阵后，就可以得知系数矩阵的秩r，并且可以知道其极大无关组是由哪几个向量组成的。如果这个齐次线性方程组有n个未知数，则可以根据前面学到的定理：该齐次线性方程组的基础解系由n-r个解向量组成。
例如：


如图，对其系数矩阵变换为行阶梯矩阵，根据每个阶梯第一个1的位置可以得知，系数矩阵的极大无关组由x1和x2组成，所以方程组的基础解系的解向量个数为4-2=2。
剩余的两个未知数x3和x4的系数向量都能用x1和x2的表示出来。并且由于行阶梯矩阵只有两个阶梯，所以可以得知得到的同解方程组一定是两个方程组成的。如图所示。
对于x3和x4，分别取其值为0,1和1,0。得到两组解，这两个解组成的向量组即为方程组的基础解系。
也可以用图中下面那种换元的方法，更清晰。

如果基础解系由三个解向量确定，则分别将这三个未知数取值为001，010和100。即可得到三个解。
如果基础解系由一个解向量确定，则得到同解方程组之后只需要把其他几个未知数都用那个未知数表示，然后把这个未知数取值为1即可得到基础解系。

以上就是齐次线性方程组的基础解系的一般求法。

2.如何求齐次方程组的通解

求出基础解系后就能直接写出方程组的通解。
若基础解系为(X1,X2,X3,X4)，则其通解为k1X1+k2X2+k3X3+k4X4。
一般求通解就相当于求基础解系。

3.如何求非齐次线性方程组的解

只有齐次线性方程组有基础解系的概念，非齐次线性方程一般只是求其通解
根据非齐次线性方程组的解的性质：
对于方程组AX=b，当且仅当r(A)等于r(A的增广矩阵)时，方程组才有解。
非齐次方程组有没有解的问题其实也就是向量b能不能由矩阵A的列向量线性表出的问题。
求非齐次线性方程的通解的过程其实就是：先求出非齐次方程AX=b的一个特解a，再求出其对应导出组AX=0的通解k1X1+k2X2+…+knXn，再把这两者相加即为非齐次方程组的通解。（原理比较简单，就不再分析了）

具体步骤：
先对非齐次线性方程组的增广矩阵做初等行变换，化为行阶梯矩阵，这样就能知道方程组的系数矩阵和其增广矩阵的秩，如果两者相等，则方程组有解。（其实就是行阶梯矩阵的阶梯起始元素不会出现在最后一列，如果出现在最后一列的话，则增广矩阵的秩就比系数矩阵的秩大1，方程组无解。）

这其实也很好理解，如果r(增广矩阵)=r(A)+1的话，在同解方程组中就会出现 0 = a(a≠0) 的情况，这样方程组当然是无解的。

求其解的时候，分为两个部分：求其导出组的通解和自身的一个特解。
特解一般比较好求，代入一些特殊的数使方程组成立即可，尽量找特殊情况即可，因为这里只需要非齐次方程组的任意一个解。
通解的求法只与其导出组有关，按照前面讨论过的齐次线性方程组的通解求法求即可。
将这两部分结果相加即为非齐次线性方程组的通解。

4.通解的意义

特解的意思就是这一组未知数的值代入方程组能使其成立。
而通解的意义在于：由于其通解里的系数是任意常数，所以如果一个方程组有通解，则代表着它有无穷多个解。
根据前面所说的，如果方程组有n个未知数（对应其系数矩阵就是系数矩阵的列数）。如果系数矩阵的秩r(A)=r < n ,则其基础解系的解向量个数为n-r。

根据这个分析我们可以得出：
如果r(A)=n，则方程组的基础解系的解向量个数为0，可以说这个方程组是确定的，只有一个确定的解，如果方程组是齐次的，则只有一个零解（齐次方程组其实是非齐次方程组的特殊情况）。
如果r(A)<n，则这个方程组是超定的，可以想象成线索比未知数要少，对于多余出来的未知数只能任意假定其值来得出答案，这样可以说谜底有无数种可能性，也就是方程组有无数个解。