【线性代数】向量组/矩阵的秩、正交规范化/正交矩阵
1.向量组的秩
极大线性无关组的定义：
注意：
同一个向量组可能有很多不同的极大线性无关组，但是这些无关组的向量个数一定是一样的。
如果一个向量组只包含一个零向量，则它没有极大线性无关组
若向量组本身就线性无关，则其极大线性无关组就是其本身。
向量组的秩的定义：
向量组的极大线性无关组的向量个数即为向量组的秩，记为r
等价向量组的定义：
这里有一个小细节，对于向量组内的向量，它是一定能由这个向量组线性表出的，只需要把自己的系数设为1，其他所有向量的系数都设为0即可。
关于等价向量组：
向量组和其极大线性无关组是等价向量组
一个向量组的各个极大线性无关组之间是等价的
关于这两个定理：
向量组A能由B线性表出，则A的秩≤B的秩
A能由B线性表出其实可以用A的极大线性无关组能由B的极大组线性表出这个表述来代替，容易得出，当A的秩大于B的秩时，相当于用低纬度的符号系统表示高纬度，这样就总会有未知数无法消除。
这也跟前面讨论过的一个定理对应：
若向量组B的所有向量均可由向量组A线性表出，则B线性无关，且B的向量数量一定≤A
若向量组B的所有向量均可由向量组A线性表出，则B的向量个数大于A，则向量组B线性相关。
如何求一个向量组的极大线性无关组？
2.矩阵的秩
矩阵的k阶子式的定义：
在m×n矩阵中任取k行k列，则位于这些行列的交叉点上一共有k×k个元素，由这些元素按其在原矩阵中的次序排列形成的k阶行列式，就称为原矩阵的一个k阶子式。
注意：k阶子式是一个行列式而不是矩阵
矩阵的秩的定义：
可以概括为：矩阵中非零子式的最高阶数
可以有以下的结论：
矩阵A的秩为r，则A的每一个阶数比r大的子式的值都为0，并且必定存在阶数小于r的子式的值不为0
矩阵的秩等于0 当且仅当 矩阵是零矩阵
对于n阶矩阵：
矩阵的秩等于n 等价于 矩阵的行列式不等于0 等价于 矩阵可逆
矩阵的秩<n 等价于 矩阵的行列式等于0 等价于 矩阵不可逆
与矩阵的秩相关的定理：
矩阵经过初等变换后秩不变
1.数乘不改变矩阵的秩
2.矩阵之和的秩≤矩阵的秩之和
3.矩阵乘积的秩≤矩阵各自的秩的最小值
4.AB的内积的秩的情况
5.若一个矩阵可逆，则将它左乘或右乘另一个矩阵都不会改变这个被乘的矩阵的秩
6.相乘结果为零矩阵的矩阵的秩
7.分块矩阵的秩的情况
三秩相等定理：
其意义是建立了矩阵的秩与向量组的秩之间的关系
3.正交规范化/正交矩阵
内积的概念：
注意：
向量的内积是数值而不是向量
向量内积中两个向量的顺序对内积的结果没有影响
内积外面的系数可以随意进到里面任何一个向量前面
向量的模：
根据向量内积的概念可以知道：向量与其自身的内积为其各分量的平方和
向量的模为：|α| = sqrt((α，α))，即向量与其自身内积的平方根。
单位向量：当一个向量的模等于1时，这个向量称为单位向量。
回想初中的向量概念，这里的向量的模和平面直角坐标系中的向量长度类似，当向量的维数为2时，其模其实就是向量长度（只不过当维数增加时这个模就不表示长度了，因为此时向量并不在二维空间中，而是在n维空间中，这时其意义只能用纯数学语言描述，用几何语言描述三维以上的向量都是十分困难的）
向量的正交：
当向量的内积为0时，称这两个向量正交。
施密特正交化的概念：
这个概念就是将向量组先正交化后标准化的过程。
(正交化就是使向量组中任意两个向量之间都正交）
正交矩阵的定义：
设A为阶矩阵，若A×A^T = A^T×A = E，则称A为正交矩阵。
定理：
A是正交矩阵
等价于：A^T = A^(-1) （转置矩阵等于逆矩阵）
等价于：A的行/列矩阵都是单位向量且两两正交
