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1.1初等变换和初等矩阵的概念

初等变换的概念:
初等变换并不是一个运算操作,而是一类对矩阵的操作的统称

对于m×n矩阵A:
(1)倍乘:对A的某行或某列元素乘上一个非零常数k
(2)互换:互换A的某两列或某两行元素的位置
(3)倍加:将A的某行或某列元素的k倍加到另一行或列上
这三种变换统称为初等(行或列)变换

初等矩阵的概念
注意,初等矩阵必须是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,它的意义是代表基本的初等变换运算
有三种初等矩阵,对应着三种初等变换
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等价矩阵的概念:
矩阵A通过有限次初等变换可以变成矩阵B,则称A与B等价。
矩阵的等价标准形:
若矩阵A等价于r阶单位矩阵,则后者称为矩阵A的等价标准形
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问题:等价矩阵的定义中的初等变换区分行变换和列变换吗?

2.初等矩阵与初等变换的性质

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解释:
1比较容易理解,矩阵转置只是把行和列交换了一下,对于初等矩阵来说只是把行变换对应到列变换(或者相反),所以转置后的矩阵仍然是一个初等矩阵
2初等矩阵均可逆,且其逆矩阵也是可逆矩阵,这里还给出了几种初等矩阵对应的逆矩阵(由于乘上一个初等矩阵相当于对这个矩阵进行相对应的初等变换,所以求初等矩阵的逆矩阵就相当于找出其恢复到E的初等变换过程):
对于E(i,j),其初等变换为互换ij行或列,所以对其再乘以E(i,j)就会恢复原状,所以E(i,j)的逆矩阵为其本身。
对于E(i(k)),其代表将E的第i行或列乘以k倍,所以很容易得知其逆矩阵为E(i(1/k)),即将这一行或列再乘以1/k倍。
对于E(ij(k)),其代表将第i行的k倍加到第j行上去,所以其逆矩阵只需要把系数k加上负号就行,即E(ij(-k))
3需要注意的是左乘与右乘的区别,对于一个初等矩阵P和一个任意矩阵A,PA代表对A做初等行变换,AP代表对A做初等列变换。
可逆矩阵的性质的复习:
(AB)^-1 = B^-1 × A^-1(注意去括号后相乘顺序的改变)
上图中的定理3:矩阵A可逆等价于A可以被表示成一些初等矩阵的乘积。
将上面的三种初等矩阵的逆矩阵形式与矩阵乘积的求逆运算规则结合起来就可以得知:如果能将一个矩阵A用若干个初等矩阵的乘积表示出来,就可以通过这两个知识直接计算出矩阵A的逆矩阵。
若矩阵A可逆,即AB = E,则一定代表着A经过一定的初等变换(即矩阵B)可以得到单位矩阵E,也就代表着矩阵A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

3.行阶梯矩阵和行最简矩阵

行阶梯矩阵的概念:
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行最简矩阵的概念:
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如何将一个矩阵化为行最简矩阵,并求出对应的变换矩阵?
关于行阶梯矩阵和行最简矩阵的概念可以看做是初等矩阵与初等变换从方阵向一般矩阵(行列数不相等)的推广。
例如,当把一个三行四列的矩阵化为行最简矩阵时,需要做一系列初等行变换,即相当于给它左乘一个可逆矩阵,代表其行变换过程。根据可乘性,应该乘上一个三行三列的可逆矩阵。
要求这个变换矩阵,只需要和求逆矩阵的过程一样,将一个三阶的单位矩阵放在其旁边,将这个矩阵化为行最简矩阵,并给这个单位矩阵作同步变换。
同样的,如果是一个m行n列的矩阵化为行最简,则用一个m阶的可逆矩阵左乘,如果是一个化为列最简,则用一个n阶的可逆矩阵右乘。

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