1.矩阵的概念
矩阵的定义是:m×n个数字排成m行n列的一个表格
特殊地:当m=n时,矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵
其他相关概念:
零矩阵:如果一个矩阵的所有元素都是0,则这个矩阵称为零矩阵,记为O
同型矩阵:若矩阵A(m×n)和矩阵B(s×t)的行数和列数对应相等,即m=s,n=t,则称矩阵A与B是同型矩阵。
矩阵相等:若两个同型矩阵A和B的对应的元素也相等,则称矩阵A与B相等。(A=B)
矩阵的行列式:只有n阶方阵才有对应的行列式,n阶方阵的行列式记作|A|或detA
注意矩阵与行列式的区别,矩阵是一个一系列数组成的表格,行列式是一个数值。
另外要注意,对于矩阵A,|A|=0指的是矩阵A对应的行列式的值是0,与A=O是不相同的,这个代表的是矩阵是一个零矩阵。
2.矩阵的运算
加法的概念:矩阵相加的前提是两个矩阵的行数和列数相等,相加的结果即为对应元素分别相加。
矩阵的数乘:kA=[kaij]m×n
即矩阵中每个元素分别乘上这个系数。
矩阵乘法:矩阵A×B可乘的前提:A的列数=B的行数
也就是说矩阵乘法不符合乘法交换律,必须规定顺序。
矩阵A(m×s)乘矩阵B(s×n)的结果矩阵C是一个m×n的矩阵。
矩阵乘法结果C如图所示:
(特殊地:在一个矩阵连乘式中,如果有两个相邻的矩阵的乘积为常数,则可以直接把它当成系数提到式子最前面,而不必在意相乘的顺序,太注意相乘顺序时容易忽略这一点)
矩阵的次幂:只有方阵才能与自己相乘,所以只有方阵才有次幂的概念。
矩阵多项式的概念:
其他要注意的地方:
(1)单位矩阵的概念以及运算法则:
单位矩阵E是指主对角线上都为1,其余元素都为0的方阵
在可乘的情况下,A×E或E×A的运算结果都为A。
(单位矩阵相当于一般乘法中的1)
(2)对角矩阵相乘的结果:
(容易知道对角矩阵一定是方阵)
两个对角矩阵相乘的结果即为其对角线上的元素分别相乘得出的对角矩阵。
并且有以下结论:
1.对角矩阵满足交换律,即A1×A2 = A2×A1
2.对角矩阵的n次幂结果为这个对角矩阵对角线上元素加上n次幂。
3.对角矩阵的-1次幂即为原对角矩阵对角线上元素各加上-1次幂(也就是取倒数)
(3)矩阵转置的运算规律
3.矩阵的运算法则
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