模拟集成电路设计系列博客——7.4.3 Σ-Δ ADC的调制器

7.4.3 Σ-Δ ADC的调制器

一个通用的\(\Delta \Sigma\)调制器与其线性模型如下图所示：

这个结构被称作插值结构，类似于通过一个运放和反馈形成的放大器。在这个结构中，当运放增益很高时，反馈降低了运放输出级在反馈放大器输出信号中的低频噪声。在高频，当运放增益低时，噪声无法得到减小。注意此处的量化器为了泛化，是一个有许多输出电平的量化器。在许多过采样ADC中实际上使用的是1bit量化器（只有两个输出电平），但我们没必要局限于这种情况，后续我们也会讨论多比特过采样ADC。

将上面的线性模型看作有着两个独立输入，我们可以得到一个信号传输函数\(S_{TF}(z)\)和噪声传输函数\(N_{TF}(z)\)：

\[S_{TF}(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{H(z)}{1+H(z)} \tag{7.4.6} \]

\[N_{TF}(z)=\frac{Y(z)}{E(z)}=\frac{1}{1+H(z)} \tag{7.4.7} \]

注意噪声传输函数\(N_{TF}(z)\)的零点会等于\(H(z)\)的极点。换而言之，但\(H(z)\)趋向无穷时，\(N_{TF}(z)\)会趋向于零。我们可以将输出信号写为输入信号和噪声信号之和，通过对应的传输函数滤波。在频域中，我们有：

\[Y(z)=S_{TF}(z)U(z)+N_{TF}(z)E(z)\tag{7.4.8} \]

为了有效的进行噪声整形，我们构造一个\(H(z)\)，其幅度在0到\(f_0\)的范围内很大（覆盖感兴趣频段）。通过这中选择，信号传输函数\(S_{TF}(z)\)在感兴趣频段内接近单位，类似于一个单位正义反馈的运放。而噪声传输函数\(N_{TF}(z)\)在同样的频段里接近于零。因此量化噪声在感兴趣频段内得到了抑制，而信号本身几乎不受到影响。高频杂声不会受到这个反馈的影响，因为在高频只有很小的环路增益。但是，额外的后续滤波器可以去除掉所有的带外噪声，而几乎不影响所需要的信号。

在选取具体的传输函数\(H(z)\)之前，注意输入带内输入修好的最大电平\(u(n)\)必须在反馈信号\(y(n)\)的最大电平范围以内，否则\(H(z)\)的大增益会导致信号\(x(n)\)发生饱和。例如，如果1bit量化器使用的电平是\(\pm 1\)，输入信号在\(H(z)\)的增益很大的频率内也要保持在\(\pm 1\)以内。实际上，对于许多调制器来说，信号需要显著小于量化器输出电平的边界，来确保量化器稳定。然而，输入信号的最大电平\(u(n)\)，对于\(H(z)\)增益较小的频率并不一定会导致\(x(n)\)饱和。换而言之，带外输入信号的最大电平可以比反馈电平略大一些。

为了实现一阶噪声整形，噪声传输函数\(N_{TF}(z)\)应当在直流处为0（即\(z=1\)）从而量化噪声为高通滤波。由于\(N_{TF}(z)\)的零点等于\(H(z)\)的极点，我们可以发现一阶噪声整形的方式是令\(H(z)\)为一个离散时间积分器（在\(z=1\)处取极点），具体来说：

\[H(z)=\frac{1}{z-1} \tag{7.4.9} \]

结构图如下图所示：

从时域的角度来看，如果反馈工作正常，系统稳定，那么信号\(x(n)\)是有界的（\(\neq \infin\)）。由于积分器的直流增益无限，离散积分器的输入平均值必须精确为零（即\(u(n)-y(n)\)等于零）。这意味着\(u(n)\)的平均值（直流量）必须等于\(y(n)\)的平均值（直流量）。

再次的，我们强调这个结构与有着单位增益反馈的运放的相似性。运放的开环传输函数近似于一个一阶积分器，在低频有着很大的增益。

从频域的视角来看，信号传输函数\(S_{TF}(z)\)为：

\[S_{TF}(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{1/(z-1)}{1+1/(z-1)}=z^{-1} \tag{7.4.10} \]

而噪声传输函数\(N_{TF}(z)\)为：

\[N_{TF}(z)=\frac{Y(z)}{E(z)}=\frac{1}{1+1/(z-1)}=1-z^{-1} \tag{7.4.11} \]

我们可以看到信号传输函数仅仅是一个延迟函数，而噪声传输函数则是一个离散微分器（或者说高通滤波器）。

为了得到噪声传输函数的幅值\(|N_{TF}(f)|\)，我们令\(z=e^{j\omega T}=e^{j2\pi f/f_s}\)，从而有：

\[N_{TF}(f)=1-e^{-j2\pi f/f_s}=\frac{e^{j\pi f/f_s}-e^{-j\pi f/f_s}}{2j}\times 2j \times e^{-j\pi f/f_s}\\=sin(\frac{\pi f}{f_s})\times 2j\times e^{-j\pi f/f_s} \tag{7.4.12} \]

取两侧的幅度，我们可以得到高通函数：

\[|N_{TF}(f)|=2sin(\frac{\pi f}{f_s}) \tag{7.4.13} \]

注意从0到\(f_0\)的量化噪声能量为：

\[P_e=\int_{-f_0}^{f_0}S_{e}^2(f)|N_{TF}(f)|^2df=\int_{-f_0}^{f_0}\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{f_s}[2sin(\frac{\pi f}{f_s})]^2df \tag{7.4.14} \]

我们假定\(f_0<<f_s\)（即\(OSR>> 1\)），我们可以近似取\(sin(\pi f/f_s)\)为\(\pi f /f_s\)，从而有：

\[P_e \approx\frac{\Delta^2}{12}\frac{\pi^2}{3}(\frac{2f_0}{f_s})^3=\frac{\Delta^2\pi^2}{36}(\frac{1}{OSR})^3 \tag{7.4.15} \]

假定最大信号能量为\((7.4.2)\)，那么最大SNR为：

\[SQNR_{max}=10log(\frac{P_s}{P_e})=10log(\frac{3}{2}2^{2N})+10log[\frac{3}{\pi^2}(OSR)^3] \tag{7.4.16} \]

等效为：

\[SQNR_{max}=6.02N+1.76-5.17+30log(OSR) \tag{7.4.17} \]

我们可以看到对OSR加倍后，对于一阶调制器来说，SQNR提升了\(9dB\)，或者说1.5bit每倍。这个结果相比不做噪声整形的过采样技术，提升非常明显。

我们可以通过开关电容电路实现一个一阶调制器，一个在反馈环路中使用了一bit量化器的一阶调制器如下图所示：