模拟集成电路设计系列博客——4.3.1 有源RC滤波器

4.3.1 有源RC滤波器

除了Gm-C滤波器外，另一种实现模拟集成滤波器的方案是有源RC滤波器或者MOSFET-C滤波器。在这两个技术中，电流的积分都是通过反馈连接在一个高增益放大器的电容上实现的，这与将电流积分电容连接到地的Gm-C滤波器方案不同。有时这种方案被叫做米勒积分，因为就像两级放大器中的米勒补偿电容，积分电容围绕高增益放大器连接。米勒积分提高了线性度，但是需要一个高增益带宽积的放大器，使得有源RC滤波器和MOSFET-C滤波器相比Gm-C滤波器一般更慢。同时，在CMOS工艺下它们的速度会更慢，因为放大器需要能驱动阻性负载，而Gm-C滤波器中只需要驱动容性负载。但在BiCMOS工艺下它们还是很有吸引力的，因为可以实现高跨导放大器。

有源RC滤波器在分立器件和模拟集成电路滤波器中都很经典。考虑到模拟滤波器的主要组成单元是积分器，求和器以及增益级。一个基本的单端形式的有源RC积分器如下图(a)所示。假设放大器理想，虚地点在\(V_x\)。因此电压到电流通过电阻\(R\)来转换，转换的增益取决于电阻的阻值，但不幸的是，这个阻值是会随着工艺和温度差异而变化的。但是，使用一个被动电阻提供了绝佳的线性度。结果电流在电容\(C_I\)上积分并产生一个反相的输出\(v_o\)。

而在下图(b)中，积分器引入了求和。使用全差分放大器，电阻\(R_{p1,p2,n1,n2}\)将差分电压转换为差分电流。电流\(i_{p1,p2}\)和\(i_{n1,n2}\)在虚地节点\(V_x\)求和，使得总电流在电容\(C_I\)上积分。如果只需要增益和/或者求和，不需要积分的话，那么将围绕放大器的反馈电容换为电阻即可。

例题：

考虑如上图(a)中的有源RC积分器，假定放大器有着一阶开环响应，直流增益为\(A_0\)，单位增益频率\(\omega_{ta}\)，求积分器的频率响应。

解答：

闭环频率响应为理想频率响应\(-1/(sRC)\)乘以\(L(s)/(1+L(s))\)，其中\(L(s)\)是整个电路的开环响应。

根据给定参数，可以写出放大器的开环响应为：

\[A(s)=\frac{A_0}{1+A_0s/\omega_{ta}} \tag{4.3.1} \]

反馈网络的频率响应为：

\[\beta(s)=\frac{sRC}{1+sRC} \tag{4.3.2} \]

由于\(L(s)=A(s)\beta(s)\)因此我们可以求出放大器的闭环频率响应为：

\[H(s)=-\frac{1}{sRC}\frac{A(s)\beta(s)}{1+A(s)\beta(s)} \tag{4.3.3} \]

假定\(\omega_{ta}>>1/RC\)，上式可以简化为：

\[H(s)=-\frac{A_0}{(1+sA_0RC)(1+s/\omega_{ta})} \tag{4.3.4} \]

这里额外说一下上面那个结论是怎么来的。假设有下图所示的反馈环路：

我们可以很简单的推出闭环响应\(A_{CL}\)为：

\[A_{CL}=\frac{y}{u}=\frac{A}{1+A\beta} \tag{4.3.5} \]

我们令\(L=A\beta\)，即开环增益，那么：

\[A_{CL}=\frac{1}{\beta}\times\frac{L}{1+L} \tag{4.3.6} \]

当放大器理想，增益无穷大时\(L=\infin\)，此时\(A_{CL}=1/\beta\)。

所以我们计算放大器不理想时的闭环增益，首先假设放大器理想，求出\(1/\beta\)，再乘以修正项\(L/(1+L)\)即可，对于负反馈，可以在放大器负极断开环路，开环增益\(L(s)\)通过放大器频率响应\(A(s)\)和反馈网络频率响应\(\beta(s)=V_{FB}(s)/V_{out}(s)\)相乘即可求得。

根据\((4.3.4)\)我们可以得到波特图如下：

真实积分器响应对比理想积分器，第一点不同是直流增益仅为有限的\(A_0\)（而理想积分器是无穷大），对于高于\(1/A_0RC\)的角频率，真实频率响应很好的近似于理想频率响应\(-1/sRC\)。这之后，当频率接近放大器的单位增益频率时，积分器由于放大器有限的增益带宽而再次偏离理想值。因此积分器工作良好的频率区间为\(1/A_0RC<\omega < \omega_{ta}\)，这对放大器的直流增益和单位增益频率提出了要求。

下图展示了一个使用两个有源RC积分器实现的二阶滤波器。

注意这个电路中需要两个放大器，每个积分器需要一个，因此每个都在滤波器中构成一个极点。第一个积分器的输出为：

\[v_1(s)=-\frac{G_1}{sC_A}v_i(s)-\frac{G_4}{sC_A}v_o(s) \tag{4.3.7} \]

第二个积分器的输出为：

\[sC_Bv_o(s)=G_3v_1(s)-G_2v_i(s)-sC_1v_i(s)-G_5v_o(s) \tag{4.3.8} \]

结合两个公式整理后，我们可以得到：

\[\frac{v_o(s)}{v_i(s)}=-\frac{[(C_1/C_B)s^2+(G_2/C_B)s+(G_1G_3/C_AC_B)]}{[s^2+(G_5/C_B)s+(G_3G_4/C_AC_B)]} \tag{4.3.9} \]

显然这构成了一个二阶滤波器的系统传输函数。