模拟集成电路设计系列博客——2.1.2 两级放大器的频率响应

2.1.2 两级放大器的频率响应

我们现在开始研究补偿电容\(C_c\)对频率响应的影响，补偿电容会在一个频率点开始引发增益幅度的减小，但仍在一个远低于单位增益频率的频点，对应于很多应用的中频点。我们使用一些简化假设，首先忽略除了补偿电容\(C_c\)以外的所有电容，其次我们认为电阻\(R_c\)不存在（这个电阻的作用是实现超前补偿，仅在放大器的单位增益频率附近起到作用）。下图我们展示了一个简化电路用于分析。

第二级通过补偿电容\(C_c\)在第一级上引入了一个电容负载。使用米勒定理可以求出节点\(v_1\)上的等效负载电容\(C_{eq}\)：

\[C_{eq}=C_c(1+A_{v2})\approx C_cA_{v2} \tag{2.1.10} \]

利用差分对的结论，有：

\[A_{v1}=\frac{v_1}{v_{in}}=-g_{m1}Z_{out1} \tag{2.1.11} \]

其中：

\[Z_{out1}=r_{ds2}||r_{ds4}||\frac{1}{sC_{eq}} \tag{2.1.12} \]

对于中频点，其输出阻抗由\(C_{eq}\)主导，我们可以计算出：

\[Z_{out1}\approx \frac{1}{sC_{eq}}\approx \frac{1}{sC_cA_{v2}} \tag{2.1.13} \]

对于整体增益：

\[A_{v}(s)=\frac{v_{out}}{v_{in}}=A_{v2}A_{v1}\approx A_{v2}\frac{g_{m1}}{sC_cA_{v2}}=\frac{g_{m1}}{sC_c} \tag{2.1.14} \]

使用\((2.1.14)\)我们可以估算出使得\(|A_v(j\omega_{ta})|=1\)的单位增益频率点\(\omega_{ta}\)的值：

\[\omega_{ta}=\frac{g_{m1}}{C_c}\tag{2.1.15} \]

注意到单位增益频率与\(g_{m1}\)成正比，与\(C_c\)成反比，进一步转换\((2.1.15)\)可以得到：

\[\omega_{ta}=\frac{2I_{D1}}{V_{eff1}C_c}=\frac{I_{D5}}{V_{eff1}C_c} \tag{2.1.16} \]

\((2.1.16)\)表明，对于固定的单位增益频率来说，偏置电流（或者说功耗）可以通过减小\(V_{eff1}\)来实现减小。选择较小的\(V_{eff1}\)的缺点是可能会增加失真，但是对于反馈中的放大器来说这种影响会得到缓解，因为工作于反馈中的放大器其差分输入端的差分信号往往非常小。\((2.1.16)\)假定了晶体管\(Q_1\)和\(Q_2\)遵从平方律，但其实单晶体管工作在亚阈值区时电流是最小的，对于亚阈值区晶体管来说有\(g_{m1(sub-th)}=qI_{D1}/nkT\)，带入到\((2.1.15)\)后有\(\omega_{ta}=qI_{D1}/nkTC_{c}\)。

例题1：

假定一个两级放大器所有参数与上一小节中的例题完全一致，\(C_c=1pF\)，求单位增益频率。

解答：

使用\(g_{m1}=1.3mA/V\)，和公式\((2.1.15)\)，有：

\[\omega_{ta}=\frac{1.3\times 10^{-3}A/V}{1\times10^{-12}F}=1.3\times10^{9} rad/sec \tag{2.1.17} \]

对应的频率为\(f_{ta}=\omega_{ta}/2\pi=207MHz\)

两级放大器的简化小信号模型如下图所示：

忽略输出级，并且假设第一级的寄生极点远高于单位增益频率\(\omega_{ta}\)，将第一级建模为一个简单的压控电流源，通过小信号模型，我们可以推出：

\[R_1=r_{ds4}||r_{ds2} \tag{2.1.18} \]

\[C_1=C_{db2}+C_{db4}+C_{gs7} \tag{2.1.19} \]

\[R_2=r_{ds6}||r_{ds7} \tag{2.1.20} \]

\[C_2=C_{db7}+C_{db6}+C_{L2} \tag{2.1.21} \]

注意如果没有输出级那么\(C_{L2}\)就是输出负载电容，如果有输出级那么\(C_{L2}\)就是输出级引入的负载电容。

为了展示为什么需要\(R_c\)，我们首先假定\(R_c=0\)并使用\(v_{out}\)和\(v_1\)对电路进行频率分析：

\[A_{v}(s)=\frac{v_{out}}{v_{in}}=\frac{g_{m1}g_{m7}R_1R_2(1-sC_c/g_{m7})}{1+sa+s^2b} \tag{2.1.22} \]

其中：

\[a=(C_2+C_c)R_2+(C_1+C_c)R_1+g_{m7}R_1R_2C_c \tag{2.1.23} \]

而：

\[b=R_1R_2(C_1C_2+C_1C_c+C_2C_c) \tag{2.1.24} \]

显然这里存在两个分开的极点，为了进行分解我们假定分母\(D(s)\)为：

\[D(s)=(1+\frac{s}{\omega_{p1}})(1+\frac{s}{\omega_{p2}})\approx 1+\frac{s}{\omega_{p1}}+\frac{s^2}{\omega_{p1}\omega_{p2}}\tag{2.1.25} \]

将\((2.1.22)\)的分母化为\((2.1.25)\)的形式以后可以求解出\(\omega_{p1}\)和\(\omega_{p2}\)，主极点\(\omega_{p1}\)为：

\[\omega_{p1}\approx \frac{1}{R_1[C_1+C_c(1+g_{m7}R_2)]+R_2(C_2+C_c)}\approx\frac{1}{R_1C_c(1+g_{m7}R_2)}\approx\frac{1}{g_{m7}R_1R_2C_c} \tag{2.1.26} \]

次主极点\(\omega_{p2}\)为：

\[\omega_{p2}\approx \frac{g_{m7}C_c}{C_1C_2+C_2C_c+C_1C_c} \approx \frac{g_{m7}}{C_1+C_2} \tag{2.1.27} \]

同时从\((2.1.22)\)中还注意到有右半平面零点：

\[\omega_z=-\frac{g_{m7}}{C_c} \tag{2.1.28} \]

该零点是由小信号电路中两个有着相反信号的信号路径造成的，一个是沿着压控电流源\(g_{m7}v_1\)，一个是沿着补偿电容\(C_c\)。

从\(\omega_{p1}\)和\(\omega_{p2}\)的关系式中，我们可以看出随着\(g_{m7}\)的增加，第一极点和第二极点的分离将会增大，这种分离使得电路变得更加稳定，因此引入米勒电容进行补偿的方法常被称为极点分裂补偿。需要注意的是增大\(C_c\)将把主极点\(\omega_{p1}\)移动到更低的频率，但并不会影响第二极点\(\omega_{p2}\)，这同样使得放大器更加稳定。

然而一个问题是右半平面零点\(\omega_z\)，由于该零点位于右半平面，在放大器的传递函数中其引入负的相移，这使得稳定性变得很差。增大\(C_c\)也不会改善这个情况，因为这同时减小了第一极点和零点的频率，并不能使得他们分开来。实际上由于右半平面零点的存在，基本上不可能选择一个\(C_c\)（假定\(R_c=0\)）使得电路的阶跃响应不出现过冲。幸运的是引入\(R_c\)可以解决这一问题，我们将在之后的小节详细讨论这一问题。

例题2：

使用例题1中的参数，并假定\(C_c=1pF\)，负载电容\(C_{L2}=5pF\)，估计零点和第二极点的频率。提出一个能够同时提升两个频率的设计改动方法。

解答：

假定\(C_{db6}\)和\(C_{db7}\)都远小于\(C_{L2}\)，我们取\(C_{2}\approx C_{L2}=5pF\)，根据\(g_{m7}=3.12mA/V\)代入\((2.1.27)\)中有：

\[\omega_{p2}\approx \frac{3.12mA/V}{5pF+1pF}=520\times10^6rad/sec=2\pi \times82.8MHz \tag{2.1.29} \]

根据\((2.1.28)\)，零点则位于：

\[|\omega_z|\approx \frac{3.12mA/V}{5pF}=624\times 10^6 rad/src=2\pi \times 99.3MHz \tag{2.1.30} \]

\(\omega_{p2}\)和\(|\omega_z|\)都可以通过加宽\(Q_6\)和\(Q_7\)从而增大\(g_{m7}\)来进行增大。然而这样做也会导致第二级的电流消耗增大。

一般来说在给定最大功耗的情况下，设计者对于\(\omega_{ta}\)基本上没有什么控制能力。其基本上会被稳定性需求约束在一个大概在第二极点频率\(\omega_{p2}\)一半的频率位置上。而第二极点又受到负载电容\(C_2\)和第二级功耗以及\(g_{m7}\)的约束。