6. 重庆

6.12 模拟赛

T1

CF509E

最小链覆盖 \(=\) 最长反链 \(=\) \(n\ -\) 拆点二分图最大匹配

那么如何根据得到的最大匹配构造方案

最小链覆盖的方案是容易的，可以根据最小链覆盖调整出最长反链方案（蓝书 P438）

还有一种简洁的方法

从右侧的非匹配点出发 dfs，从右走到左只能走非匹配边，从左往右走只能走匹配边，取左侧 dfs 到的点和右侧没 dfs 到的点，得到的是一种最小点覆盖的方案。

取最小点覆盖的补集，得到最大独立集。

若 \(x\) 在左右两侧拆出的点都在最大独立集中，我们就选出 \(x\)，所有这样的 \(x\) 构成原 DAG 最长反链。

https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/12238880.html

T2

AGC031D

我竟然把置换的复合记反了 /lh

\(f\circ g=h\) 的含义是 \(h_i=f_{g_i}\)，有结合律没有交换律，有逆元 \(f\circ f^{-1}=f_{-1}\circ f=e\)，\(e_i=i\) 为单位元。

有性质 \((f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}\)。

然后这题就是找规律玩了

T3

AGC026E

6.14

T1

给你长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求忽略出现次数大于 \(w\) 的数字之后的区间第 \(k\) 小，强制在线。

\(n,q\leq 10^5\)

先考虑离线怎么做，当然是莫队啊，离线可以整体二分，二分之后对于每个值 \(x\)，我们让区间中前 \(w\) 个 \(x\) 产生 \(1\) 的贡献，第 \(w+1\) 个 \(x\) 产生 \(-w\) 的贡献，后面的 \(x\) 贡献为零。考虑每个数能对哪些区间产生多少的贡献，发现这些区间都是矩形，于是问题就可以先矩形加，每个询问区间就相当于一次单点查询，线段树扫描线即可。

不过这个题强制在线，上面的算法是不是寄了？其实上述过程中每个分治区间每个矩形都是线段树上做区间加，我们把用到的所有线段树都可持久化下来，查询就能每次直接在主席树上查了。

时间和空间复杂度都是 \(O(n\log^2 n)\)，比较难受。

T2

\(x\) 质因数分解为 \(\prod_i p_i^{\alpha_i}\)，定义

\[f_k(x)=\prod\limits_i(-1)^{\alpha_i}[\alpha_i\leq k] \]

给定 \(n,k\)，求

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{d=1}^k f_d(\gcd(i,j)) \]

\(n\leq 10^{10},k\leq 40\)，模数 \(2^{30}\)

完全不会什么 powerful number，min_25，州阁筛，只能照搬题解做法了/dk

莫反一下得到

\[ans=\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{d=1}^kf_d(x)\left(2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor n/x\rfloor}\varphi(i)-1\right) \]

\(\varphi\) 的前缀和杜教筛即可，考虑求 \(f\) 的前缀和 \(F_d(x)=\sum_{i=1}^xf_d(i)\)。

定义 \(\lambda(x)=\prod_i(-1)^{\alpha_i}\)，容斥求出 \(F_d\)

\[F_d(x)=\sum\limits_{i=1}^x\mu(i)\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{x}{i^{d+1}}\rfloor}\lambda(i^{d+1}j) \]

这个容斥的含义是，钦定 \(x\) 为不合法质因数集合 \((\alpha_i>d)\)，剩下随意。

\(\lambda\) 显然是积性函数，那么 \(\Lambda(x)=\sum_{i=1}^x\lambda(i)\) 也可以杜教筛了。不过杜教筛 \(\Lambda\) 还需要一个 observation，就是 \(\sum_{d|x}\lambda(d)=[x\text{为完全平方数}]\)。

整理一下

\[F_d(x)=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor x^{\frac{1}{d+1}}\rfloor}\lambda^{d+1}(i)\mu(i)\Lambda(\lfloor\dfrac{x}{i^{d+1}}\rfloor) \]

​ 求 \(F\) 时，若 \(x\) 较小线性筛预处理，\(x\) 较大枚举上式，可以套用杜教筛的复杂度分析，也是 \(O(n^{2/3})\) 的。

\(\gcd(i,j)=d\) 的数对 \((i,j)\) 数量是 \(2\sum_{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor}\varphi(i)-1\) 能不能记住啊啊啊啊

T3

T3 构造竟然是这场最水的一题，应该在这个题上多花点时间的，做出的可能性还是很大的

懒得写了，反正这个题之后我也不大可能来复习（

6.15 多项式，数学专题

其实很不愿意做这个专题，多项式一直是我比较恐惧的一个东西，生成函数那些理论一直拖着没学，多项式全家桶也完全不会，不学的话大量数学题全都摆烂非常难受，学的话现在还有一个月 NOI，学新知识点，还是 10 级的，好像也不划算。

总之这几天专题就是挑了几个最简单的做了一下（

P2354 [NOI2014] 随机数生成器

你是怎么混进来的（

CF923E Perpetual Subtraction

牛逼啊这个卧槽

DP 式子就是 \(p_i\leftarrow\sum_{j\geq i}\dfrac{p_j}{j+1}\)，\(p\) 下标 \(0\sim n\)，总共 \(m\) 轮，\(n\leq 10^5,m\leq 10^{18}\)。

首先把 \(p_{0\sim n}\) 写成列向量 \(P\)，这个 DP 转移就是对 \(P\) 的一个线性变换，把这个变换写作矩阵 \(A\)，就是要求 \(A^mP\)。

这个 \(A^m\) 直接算是无法容忍的 \(n^3\log m\)，这时有一个 amazing 的方法，对角化。

概念

如果向量 \(v\) 在线性变换 \(A\) 下只发生了伸缩，称 \(v\) 为 \(A\) 的特征向量，伸缩倍数 \(\lambda\) 称为特征值。写成公式就是

\[Av=\lambda Iv \]

也就是

\[(A-\lambda I)v=0 \]

\(v=0\) 是平凡的，如果 \(v\) 不是零向量，那么就说明 \(A-\lambda I\) 的列是线性相关的，或者说它不是满秩的，也就是等价于

\[\det(A-\lambda I)=0 \]

从这个方程可以解出特征值 \(\lambda\)，进而求出 \(v\)。

得到了 \(v\) 有什么用？如果在 \(n\) 维线性空间中的线性变换，我们解出了它的 \(n\) 个特征向量 \(v_{1\sim n}\)，考虑用 \(v_{1\sim n}\) 做线性空间的基底，基变换之后，\(A\) 作用于空间中任一向量，都只有伸缩效果！记 \(A\) 在新的基底下为 \(A^\prime\)，也就是说 \(A^\prime\) 是一个对角矩阵！它的幂可以非常容易的求得！

回到本题，通过手解和大胆找规律，发现第 \(i\) 个特征向量的第 \(j\) 维为 \((-1)^{i+j}\binom{i}{j}\)，把 \(n\) 个特征向量排成矩阵 \(F\)，就是基变换的矩阵（原基底变为新基底乘 \(F^{-1}\)，反之就是乘 \(F\)）。

同样大胆猜规律，得到 \(F^{-1}_{ij}=\binom{i}{j}\)

答案可以写成 \(F(F^{-1}AF)^mF^{-1}\)，\((F^{-1}AF)\) 是对角矩阵，\(m\) 次方快速幂即可，而 \(F,F^{-1}\) 都是组合数，乘一个向量能写成卷积，NTT 即可。

于是复杂度就是 \(O(n\log n)\)，做完了！

Gym102978A Ascending Matrix

好题啊这个