做题笔记

flag：暑假之前做完近五年的省选题

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现在是鸽在这了

1.10

[HEOI2016/TJOI2016] 排序

给出一个 $1$ 到 $n$ 的全排列，$m$ 次操作，对区间 $[l,r]$ 升序或降序排序，最后询问第 $q$ 位置上的数。

一种二分的离线做法非常妙

二分最终答案 $mid$，把大于等于 $mid$ 的数都赋为 $1$，小于 $mid$ 的都赋为 $0$。这样区间排序就转化为区间查询 $1$ 的个数，区间赋值。复杂度 $O(m\log^2n)$。

题解还有线段树分裂的做法，不会，等我学完再来写，可以做到 $O((n+m)\log n)$。

1.11

[HEOI2016/TJOI2016] 游戏

二分图的最大匹配，很套路一个模型。

二分图匹配两个要素：

• “0”要素：节点能分成独立两个集合，每个集合内部有 0 条边

• “1”要素：每个节点只能与一条匹配边相连

所以可以把每行、列的连续的一段看成节点，对于每个格子，在它所在的行段、列段之间连边。因为刚学最大流，所以写的 dinic，没调试一遍AC，泪目。

[HAOI2016] 食物链

难得一道省选大水题。前几天在谷群有人讨论食物链来着，还真有这么一个题。

以后做生物找食物链条数的题，当同学都在 dfs 爆搜，我就可以用 DP 做到 $O(n)$（雾）

1.12

[HNOI2016] 序列

给你一个序列，每次询问一个区间 $[l,r]$，求其所有子区间的最小值之和。

莫队，处理这个 f[] 还是挺有技巧性的，不看题解想不出来。

以移动右端点为例，预处理

f[i]=a[i]*(i-pre[i])+f[pre[i]]; //pre[i]是i前面第一个比它小的数的位置（单调栈）

移动右端点，计算贡献

inline int calcr(int l,int r){
	int p=st_query(l,r); //ST表做rmq
	return (p-l+1)*a[p]+f[r]-f[p];
}

$O(n\sqrt n)$ 就过掉了这题。当然也可以二维数点做，但有莫队谁写那玩意

1.13

[HNOI2016] 树

没啥高科技东西就是像模拟一样。但我主席树也写挂 LCA 也写挂导致调了2个多小时。

1.14

[JLOI2016/SHOI2016] 侦察守卫

做题经历：

这不就树形 DP？然后不会。

看一眼题解，妙啊，状态是这么设计的！然后还不会。

再看亿眼题解，妙啊，是这么转移的！然后写挂了。

最后几乎是照着题解打了一遍，大概是会了（？）

1.15

[ZJOI2017] 仙人掌

给你一个图，问有多少不同的加边方案把它变成仙人掌。

先把原来环上的边去掉变成一堆树。

每加边形成一个环，就相当于覆盖了树上的一条链（仙人掌上的割边可以看成重边构成的环），问题就转化成有多少种不同的方案把树上所有的边不重不漏的覆盖（这样才保证形成的是仙人掌）。

注意到只有链经过点时是切断还是选择一条边走出去会影响答案。

记度数为 $i$ 的点对答案贡献为 $f_i$，就有

$$\begin{cases}f_i=1 &i=0,1\\f_i=f_{i-1}+(i-1)\times f_{i-2} &i\ge 2\end{cases}$$

答案就是 $\prod f_{deg_i}$。感觉比昨天那个好理解多了，这题我觉得都不配叫 DP

判断仙人掌这个第一次遇到，调了好长时间最后是因为多测没初始化淦。

bool vis[maxn];
int pos[maxn],stk[maxn],top,dfn[maxn],idx;
bool dfs(int x,int e){
    stk[++top]=e,pos[x]=top;
    vis[x]=true;
    dfn[x]=++idx;
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
	if(i==(e^1)) continue;
	int y=edge[i].to;
	if(vis[y]){
	    if(dfn[y]>dfn[x]) continue;
	    edge[i].del=edge[i^1].del=1;
	    deg[x]--,deg[y]--;
	    for(int j=pos[y]+1;j<=pos[x];j++){
		if(edge[stk[j]].del) return false;
		edge[stk[j]].del=edge[stk[j]^1].del=1;
		deg[edge[stk[j]].to]--,deg[edge[stk[j]^1].to]--;
	    }
	    continue;
	}
	if(!dfs(y,i)) return false;
    }
    top--;
    return true;
}

1.16

[ZJOI2017] 树状数组

原问题能转化为：长度 $n$ 的序列初始都是 $0$，$m$ 个操作，在区间 $[l,r]$ 随机选一个数加一，询问两个位置上数奇偶性相同的概率。

$x$ 与 $y$ 相等的概率记作二元组 $(x,y)$。可以用二维线段树维护（矩形区间修改，单点查询）。

设之前 $x,y$ 相等的概率为 $p$，一次操作不改变它的概率为 $q$，则操作后 $x,y$ 相等的概率为 $p\times q+(1-p)\times (1-q)$。

设修改区间为 $[l,r]$，分类讨论：

• $x$ 在 $[1,l-1]$，$r$ 在 $[l,r]$，变化的概率 $1-q=\dfrac{1}{r-l+1}$

• $x$ 在 $[l,r]$，$y$ 在 $[r+1,n]$，变化的概率也是 $1-q=\dfrac{1}{r-l+1}$

• $x,y$ 都在 $[l,r]$ 中，变化的概率 $1-q=\dfrac{2}{r-l+1}$

$x=0$ 的（前缀是否等于后缀）还要单独讨论，若 $y$ 在 $[l,r]$ 中，不变的概率为 $q=\dfrac{1}{r-l+1}$，否则一定改变了 $(q=0)$。

有意思的是，这个概率的叠加满足结合律，线段树不用下传标记（这大概就叫标记永久化？），代码十分简洁。

这是我第一次写二维线段树，照着题解敲了一遍，感觉比什么树状数组套主席树好写多了（

int mul(int p,int q){ //概率叠加
    int res=(ll)p*q%mod;
    res=(res+(ll)(1-p)*(1-q)%mod)%mod;
    return (res+mod)%mod;
}
void modifyy(int &p,int l,int r,int x,int y,int v){ //第二维修改
    if(!p){ p=++tot;tr[p].val=1; }
    if(x<=l&&y>=r){ 
	tr[p].val=mul(tr[p].val,v);	
	return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) modifyy(tr[p].lc,l,mid,x,y,v);
    if(y>mid) modifyy(tr[p].rc,mid+1,r,x,y,v);
}
void modifyx(int p,int l,int r,int lx,int rx,int ly,int ry,int v){ //第一维
    if(lx<=l&&rx>=r){
	modifyy(rt[p],1,n,ly,ry,v);
	return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(lx<=mid) modifyx(p<<1,l,mid,lx,rx,ly,ry,v);
    if(rx>mid) modifyx(p<<1|1,mid+1,r,lx,rx,ly,ry,v);
}
int queryy(int p,int l,int r,int x){ //第二维查询（单点查询）
    if(!p) return 1;
    if(l==r) return tr[p].val;
    int mid=l+r>>1;
    if(x<=mid) return mul(tr[p].val,queryy(tr[p].lc,l,mid,x));
    return mul(tr[p].val,queryy(tr[p].rc,mid+1,r,x));
}
int queryx(int p,int l,int r,int x,int y){ //第一维
    if(l==r) return queryy(rt[p],1,n,y); 
    int mid=l+r>>1;
    int tag=queryy(rt[p],1,n,y); 
    if(x<=mid) return mul(tag,queryx(p<<1,l,mid,x,y));
    return mul(tag,queryx(p<<1|1,mid+1,r,x,y));
}

1.17

周末。。颓了一整天没做题。

1.18

[CQOI2017] 小Q的棋盘

一棵树，从跟出发，问走 $n$ 步最多经过多少点，重复经过只算一次。

又是 DP，f[i][j] 表示从 $i$ 出发走 $j$ 步最多经过点数，g[i][j] 表示从 $i$ 出发走 $j$ 步并回到 $i$ 最多经过点数。则有转移

f[x][j]=max(f[x][j])

1.19

[SDOI2017] 序列计数

快速幂，算一个卷积，从而优化朴素 DP，可能这就叫生成函数（？）不太会

1.20

[SDOI2017] 新生舞会

费用流，

以后二分范围一定要认真算！！否则多跑了十多次费用流直接 T 飞。。

1.21

写whk作业==

1.22

[CQOI2017] 老C的方块

最小割，妙啊！