倍增总结
倍增
ST表
预处理
\(f[i][j]\)表示从\(i\)开始的长度为\(2^{j}\)的区间（即区间\([i, i+2^{j}-1]\)）
递推公式（j在外层递增）：
\(f[i][j]=max\{f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]\}\)
即将区间\([l, r]\)分为两个区间合并
查询
分为两段，第一段为区间\([l, 2^k]\)，第二段为区间\([r-2^k+1, r]\)，其中\(k\)为满足\(2^{k}\le r-l+1\)的所有数中最大的那个数
即区间\([l,r]\)的最大值为\(max\{f[l][k], f[r-2^{k}+1][k]\}\)
例子
多次查询区间最小值
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int m,n;
#define MAXN 100001
#define LOG 18
int st[MAXN][LOG];
int lg2[MAXN];
int main(){
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(st, 0x3f, sizeof st);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d", &st[i][0]);
for(int len=1;len<LOG;++len)
for(int i=1;i+(1<<len)-1<=n;++i)
st[i][len]=min(st[i][len-1], st[i+(1<<(len-1))][len-1]);
for(int i=2;i<=n;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
while(m--){
int l,r;scanf("%d %d", &l, &r);
int sz=lg2[r-l+1];
printf("%d ", min(st[l][sz], st[r+1-(1<<sz)][sz]));
}
return 0;
}
树上倍增
求解LCA
预处理
首先结合dfs预处理出\(f[i][j]\)，\(f[i][j]\)表示节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点
递推公式：
\(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]\)
即节点\(i\)分两次向上跳，每次跳\(2^{j-1}\)层跳到的节点就是节点\(i\)向上跳\(2^{j}\)层的节点（\(2^{j-1}\times 2=2^{j}\)）
void load(int x, int fa){
f[x][0]=fa;
dep[x]=dep[fa]+1;
for(int i=1;i<20;++i)
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
void dfs(int u, int fa){
load(u, fa);
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=vv[i];
if(v==fa) continue;
dfs(v, u);
}
}
同时也可以像下面预处理出\(log^{n}_{2}\)的所有值以优化常数
for(int i=2;i<=tot;++i)
lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n
查询
首先使两个查询节点跳至同一高度后（因为它们的最近公共祖先不可能低于这两点，跳跃方法同下），当前层记为\(x\)，然后从\(log^{x}_{2}\)到0枚举（递减能保证可以完全分解成二进制）\(j\)，如果上跳\(2^{j}\)层后不重合，那么就继续跳，重合则不跳，使两点层数一直逼近最近公共祖先，最后跳完\(2^{0}\)层后，两点必定会停在最近公共祖先的下一层，所以最后直接取当前层\(i\)的\(f[i][0]\)就好了。
其中，可以直接从最大可能的\(i\)开始枚举，因为反正\(i\)也很小。
inline int lca(int a, int b){
if(dep[a]<dep[b]) swap(a, b);
for(int i=20;i>=0;--i)
if(dep[f[a][i]]>=dep[b])
a=f[a][i];
if(a==b) return a;
for(int i=20;i>=0;--i)
if(f[a][i]!=f[b][i])
a=f[a][i], b=f[b][i];
return f[a][0];
}
这是一种在线求\(LCA\)的算法，其实还有\(Tarjan\)这种效率高的离线算法。
\(O(1)\)求LCA
另外还有一种\(nlogn\)预处理，每次\(O(1)\)查询的方法。
即用欧拉序+RMQ可实现\(O(1)\)求得LCA。先dfs全树，记录欧拉序（就是记下\(dfs\)走过的节点），然后在欧拉序上以节点深度作为权值建ST表，每次查欧拉序上深度最小的点即为LCA。此时将问题转换为区间求最小值RMQ问题。
预处理
void dfs(int u, int fa){
dfn[u]=++tot;
f[tot][0]=u;
dep[u]=dep[fa]+1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=vv[i];
if(v==fa) continue;
dfs(v, u);
f[++tot][0]=u; // 再记录
}
}
for(int i=1;i<20;++i)
for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;++j)
if(dep[f[j][i-1]]<dep[f[j+(1<<(i-1))][i-1]])
f[j][i]=f[j][i-1];
else
f[j][i]=f[j+(1<<(i-1))][i-1];
for(int i=2;i<=tot;++i)
lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n
查询
int lca(int a, int b){
int l=dfn[a],r=dfn[b];
if(l>r) swap(l,r);
int lg=lg2[r-l+1];
if(dep[f[l][lg]]<dep[f[r-(1<<lg)+1][lg]])
return f[l][lg];
else return f[r-(1<<lg)+1][lg];
}
求路径上最值
求树上两点\(a,b\)路径上的最小权值
我们再设一个\(g[i][j]\)表示节点\(i\)向上跳\(2^j\)内所经过的最小权值即可，转移方程：
\(g[i][j]=min(g[i][j-1], g[f[i][j-1]][j-1])\)
