求最大公因数(辗转相除法&更相减损术)

求最大公因数(辗转相除法&更相减损术)

辗转相除法

又名欧几里得算法 ,其原理其实是基于这个定理:\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)详细证明,而任何数与0的最大公约数是它本身 (递归终止条件),所以可以如下递归求出两数最大公因数:

\[f(a,b)=\left\{ \begin{array}{lll} b \qquad a\%b=0\\ f(b,a\%b) \end{array} \right. \]

递归实现(C++):

int f(int a, int b){
	return (b==0)?(a):f(b,a%b);
}

无需判断a,b的大小关系

更相减损术

出自《九章算术》,其依据原理:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数,同理,所以可以如下递归求出两数最大公因数:

\[f(a,b)=\left\{ \begin{array}{lll} a \qquad a=b\\ f(b,a-b) \end{array} \right. \]

递归实现(C++):

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f(int a, int b){//a>b
	int r=a-b;
	if(r==0)	return b;
	if(r>b)	return f(r,b);
	else	return f(b,r);
}
int main(){
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	if(a<b)
		swap(a,b);
	cout<<f(a,b);
	return 0;
}

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posted @ 2018-08-31 20:49  Santiego  阅读(2409)  评论(0编辑  收藏  举报