树状数组入门乱讲
树状数组入门乱讲
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不同于传统数组每个元素单独存放,求和时遍历相加,树状数组每个元素不单独维护,而是被维护在一个包含其他元素的前缀和里。宜先仔细揣摩后再行。
上图便体现了树状数组储存数据的原理
相当于以下等式
说明:C[]是树状数组,A[]是实际元素
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
如此存储,便可以体现出上面所说每个元素不单独维护,而是被维护在一个包含其他元素的前缀和里的维护原则,比如元素1(即\(A[1]\))便包含在C[1],C[2],C[4],C[8]中,而如今有一个神器lowbit(x)=x&(-x)
可以依次推出所有包含元素i的\(C[k]\)们,我们先看看1至8的lowbit值
lowbit(1)=1
lowbit(2)=2
lowbit(3)=1
lowbit(4)=4
lowbit(5)=1
lowbit(6)=2
lowbit(7)=1
lowbit(8)=8
这时你会发现一个规律:每次当前下标再加上当前下标的lowbit值便会得到下一个包含元素i的\(C[k]\)的下标,比如第一个包含元素1的\(C[k]\)为\(C[1]\),那么下一个(第二个)包含元素1的\(C[k]\)为\(C[1+lowbit(1)]\),如此按照此规律循环便可访问到所有包含元素i的\(C[k]\)们
于是下面遍历所有包含元素i的\(C[k]\)的程序成立
void spot(int x)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
//do something
}
于是你又可以在遍历的同时顺便修改一下值(又于是下面修改元素i的值的程序成立)
void add(int x, int v)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=v;
}
同理,你又会发现其实查询前缀和的规律也是如此,读者可以动手模拟一下
于是查询前缀和的程序又成立
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}
完整的树状数组板子
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x, int v)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tree[i]+=v;
}
int getsum(int x)
{
int ans=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
ans+=tree[i];
return ans;
}
以上。
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