《数据结构》学习笔记 第7章 二叉搜索树 (BBST, AVL)
1, 二叉搜索树概述
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对于Sorted Vector的借鉴尤为关键;
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平衡二叉搜索树(BBST)最能体现其强大功能!
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定义: 结点含键值,且所有结点都满足“左孩子比父节点小,右孩子比父节点大”的二叉树。
- 性质:
- 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
- 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
- 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树;
- 没有键值相等的节点。
2,BST的寻秩访问
- 各数据项之间,依照关键码的不同,彼此区分 (call-by-key);
- 关键码需要支持的操作;比较与比对。
- 数据项,表现为词条的形式:
3,BST的顺序性与ADT
- 顺序性:只是对局部特征的刻画,却可以导出BST的整体特征;
- BST等价于中序遍历单调非降;
- ADT
4,BST的search操作
- 减而治之策略,实现:
- 接口语义:成功时,指向该节点;失败时,指向试图转向的空节点。
- 算法复杂度:O(h).
5,BST的insert操作
- 算法(借助于search操作):
- 复杂度:O(h).
6,BST的remove操作
- 算法实现:
- 接下来,分:单分支和双分支两种情况处理。
- 单分支算法及实现
- 描述:如果待删除节点x有两棵子树,则要找到x在右子树中的后驱节点y,然后将y的右子树成为y的父结点的左子树,再用y替换掉x。
- 单分支算法及实现
- 算法复杂度:O(h).
7,平衡二叉搜索树 (BBST)
- 包括AVL Tree,Red-Black Tree;目的:限制树高;
- 随机生成与随机组成:平均意义上的树高,
- 平衡的含义:树高为O(logN).
- 理想BBST树高:log(2)N.
- 随机生成与随机组成:平均意义上的树高,
- 中序遍历的歧义性
- 等价BST:上下可换,左右不乱;
- 等价BST的相互转换:等价变换+旋转调整 (Zig or Zag)
7.1 AVL Tree
- 概念综述:
- 各种BBST Tree的核心:
- 1)如何界定一种适度的平衡标准;2)一整套重平衡的技巧与算法。
- AVL Tree的适度平衡标准:满足AVL平衡因子
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可以证明,AVL树的适度平衡- O(logN)。
- AVL ADT接口
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主要操作:插入,删除 (相比于BST,增加重平衡步骤)
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查找,重平衡 (connect34, rotateAt)等来自继承。
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- AVL Tree插入操作 (插入后的复衡分为:单旋和双旋, 可使用3+4统一复衡算法)
- AVL Tree删除操作 (删除后的复衡也分为:单旋和双旋, 可使用3+4统一复衡算法)
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被删除节点位于失衡节点g更短的分支,即T3底部。
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AVL Tree综合评价
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