判断点在三角形内 - 桑海

公告

给定三角形ABC和一点P(x,y,z)，判断点P是否在ABC内。这是游戏设计中一个常见的问题。需要注意的是，这里假定点和三角形位于同一个平面内。

内角和法

连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA，PB和PC，求出这三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为360度，那么点P在三角形内，否则不在，此法直观，但效率低下。

同向法

假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现，连接PA，将PA和AB做叉积，再将CA和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，否则是钝角。

代码如下，为了实现程序功能，添加了一个Vector3类，该类表示三维空间中的一个向量。

// 3D vector
class Vector3
{
public:
    Vector3(float fx, float fy, float fz)
        :x(fx), y(fy), z(fz)
    {
        
    }
    
    
    // Subtract
    Vector3 operator - (const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;
    }
    
    
    // Dot product
    float Dot(const Vector3& v) const
    {
        return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;
    }
    
    
    // Cross product
    Vector3 Cross(const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(
            y * v.z - z * v.y,
            z * v.x - x * v.z,
            x * v.y - y * v.x ) ;
    }
    
    
public:
    float x, y, z ;
};


// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction
// v1 = Cross(AB, AC)
// v2 = Cross(AB, AP)
bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 AB = B - A ;
    Vector3 AC = C - A ;
    Vector3 AP = P - A ;
    
    
    Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;
    Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;
    
    
    
    // v1 and v2 should point to the same direction
    return v1.Dot(v2) >= 0 ;
}


// Same side method
// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    return SameSide(A, B, C, P) && 
        SameSide(B, C, A, P) &&
        SameSide(C, A, B, P) ;
}

重心法

上面这个方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更快，只是稍微多了一点数学而已

三角形的三个点在同一个平面上，如果选中其中一个点，其他两个点不过是相对该点的位移而已，比如选择点A作为起点，那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到，而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

所以对于平面内任意一点，都可以由如下方程来表示：

P = A + u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

如果系数u或v为负值，那么相当于朝相反的方向移动，即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部，u和v必须满足什么条件呢？有如下三个条件：
u >= 0
v >= 0
u + v <= 1

几个边界情况，当u = 0且v = 0时，就是点A，当u = 0,v = 1时，就是点B，而当u = 1, v = 0时，就是点C。

整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)。

令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A，则v2 = u * v0 + v * v1，现在是一个方程，两个未知数，无法解出u和v，将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式。
(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0
(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

注意到这里u和v是数，而v0，v1和v2是向量，所以可以将点积展开得到下面的式子。
v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0) // 式1
v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1) // 式2

解这个方程得到：
u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))
v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

是时候上代码了，这段代码同样用到上面的Vector3类：

view source

print ?

// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 v0 = C - A ;
    Vector3 v1 = B - A ;
    Vector3 v2 = P - A ;
    
    
    float dot00 = v0.Dot(v0) ;
    float dot01 = v0.Dot(v1) ;
    float dot02 = v0.Dot(v2) ;
    float dot11 = v1.Dot(v1) ;
    float dot12 = v1.Dot(v2) ;
    
    
    float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ;
    
    
    float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
    if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly
    {
        return false ;
    }
    
    
    float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
    if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly
    {
        return false ;
    }
    
    
    return u + v <= 1 ;
}

CSDN

2：

用三角形三个顶点按顺序生成三条线，
判断该点是否同时满足在三条线的左边
或右边，如果满足条件点在三角形内。

3：

正好大学时学过计算机图形学：
   当时老师介绍了两个方法，但楼上的老兄已经说出来了
   一种是用矢量叉乘法：由三个顶点向所求的点引出矢量（注意方向），然后任意用其中两个矢量形成平面，再用这个平面和剩下的矢量叉乘，得出一个新矢量，方向向里，则在三角形外，反之在里面。
    这种方法看似麻烦，但都有公式套入，并不是很复杂。
   一种是行扫描法：
     就是把三角形的三条边连起来，然后从要求的点从左向右引出射线，如果有奇数个交点，则在三角形内，否则在外面。但这种算法要注意的是：要考虑如果有三角形的一条边与水平线平行的问题，也就是边界问题。
    至于是不是最有效率的，就不知道了。

shunan的博客

之前有了解过这方面的东西，在图形编辑器中也用到了这个判断，当时总结出来的结果是要4次向量叉乘。同时在网上粗略的搜了一下，貌似也没找到有更好的方法了（也许是自己没找到，^-^）.下面先说一下用4次向量叉乘的方法：

设三角形三点A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)，已知点M(x,y),

1,先求出三个向量MA,MB,MC.

2,计算MA*MB,MA*MC; MB*MC,MB*MA;

3，如果此两组的向量叉乘的结果都是异号的，即方向相反的，则说明是在三角形内部，否则在三角形外部！

当然还可以计算三角形面积的方法，其实面积就是向量叉乘的意思，本质上是一样的。最后说一下只用3次叉乘就ok的方法（昨天找下学期做毕业设计的老师，她让我做计算几何算法用并行计算实现方面的东东，因此突然间回忆了一下以前看的比较郁闷的计算几何方面的东东，嘿嘿），

只需依次计算MA*MB,MB*MC,MC*MA,如果此3结果都是同号（或都正，或都负），则说明点M在三角形每条边的同侧，即内部。否则必在外部！

一尾鱼的博客

1. 题目：如何判断一个点在三角形内部？

2. 解析：

　　（1）方法1：面积法，如下面两幅图所示，图（a）点O在ABC外侧，面积S(ABO)+S(ACO)+S(BCO)>S(ABC)；图（b）点O在ABC内部，S(ABO)+S(ACO)+S(BCO)=S(ABC)。由此可以使用面积法来判断点是否在三角形内侧。