卡特兰数（Catalan）

Catalan数列

与斐波那契数列类似，并没有什么特殊的含义，只是用来解决某些问题的模型。

形如：$1、1、2、5、14、42、132……$

公式

$$Cat_n=\sum\limits_{i=1}^{n}Cat_{i-1}Cat_{n-i} \\ Cat_n=\frac{4n-2}{n+1}Cat_{n-1} \\ Cat_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \\ $$

例题与解释

1.经典的网格路径问题

从$(0, 0)$走到$(n, m)$，只能向上或向右走，且不穿过$y=x$这条线的方案数。显然随便走的话方案数就是$C_{n+m}^{n}$（一共走$n+m$步，其中有$n$步向右走）。考虑每一条不合法路径，也就是穿过了$y=x$，即触碰到了$y=x+1$，将第一次触碰到$y=x+1$的位置记作$d$，那么把$d$之后的路径沿$y=x+1$对称，就得到了一条从$(0,0)$到$(m-1,n+1)$的路径。可以发现每一条不合法路径都唯一对应一条从$(0,0)$到$(m-1,n+1)$的路径，这是一个双射关系，方案数为$C_{n+m}^{n+1}$，最后答案为$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$。特别的，当$n=m$时，就是卡特兰数。

2.1、-1序列

将$n$个$1$与$n$个$-1$排列，使得任意位置的前缀和大于等于$0$。对于不合法的方案建立双射关系：一定存在一个位置前缀和为$-1$，假设前面有$p$个$1$，$p+1$个$-1$，那么后面有$n-p$个$1$，$n-p-1$个$-1$，将$1、-1$取反，此时后面有$n-p-1$个$-1$，$n-p$个$1$，总体就是有$n-1$个$1$和$n+1$个$-1$组成的排列。同理，我们可以把此反向映射回去，得到双射关系。方案数也就是$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$。

3.括号序列

左括号的数量始终大于等于右括号，即合法的括号序列。把左右括号看做$1、-1$，同上。

4.进出栈问题

$1……N$依次入栈，出栈顺序的方案数。考虑$1$的顺序：
1.$1$入栈；
2.$2……k$按照某种次序出栈；
3.$1$出栈；
4.$k+1……n$按照某种次序出栈。
写成递推式就表示为$\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i-1}f_{n-i}$，就是卡特兰数。

5.阶梯的矩形划分（树屋阶梯）。

一个阶梯被若干个矩形划分的方案数。
发现$n$个角不可能处于同一个矩形，那么枚举$n$个角哪一个与左下角的方块在一个矩形内，那么上方还剩下$i-1$个角，下方还剩下$n-i$个角，则递推式如上。

6.二叉树的构成问题（凸多边形的三角划分）

枚举左子树的大小，得到递推式$f_n=f_0f_{n-1}+f_1f_{n-2}……f_{n-1}f_0$。

7.不相交弦

在一个圆上有$2n$个点，两两配对，所得的弦彼此不相交，在圆上任选两个点连接，把圆分成两部分，左侧$2(i-1)$个点，右侧$2(n-i)$个点，得到递推式。