卡特兰数（Catalan）
Catalan数列
与斐波那契数列类似，并没有什么特殊的含义，只是用来解决某些问题的模型。
形如：\(1、1、2、5、14、42、132……\)
公式
例题与解释
1.经典的网格路径问题
从\((0, 0)\)走到\((n, m)\)，只能向上或向右走，且不穿过\(y=x\)这条线的方案数。显然随便走的话方案数就是\(C_{n+m}^{n}\)（一共走\(n+m\)步，其中有\(n\)步向右走）。考虑每一条不合法路径，也就是穿过了\(y=x\)，即触碰到了\(y=x+1\)，将第一次触碰到\(y=x+1\)的位置记作\(d\)，那么把\(d\)之后的路径沿\(y=x+1\)对称，就得到了一条从\((0,0)\)到\((m-1,n+1)\)的路径。可以发现每一条不合法路径都唯一对应一条从\((0,0)\)到\((m-1,n+1)\)的路径，这是一个双射关系，方案数为\(C_{n+m}^{n+1}\)，最后答案为\(C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}\)。特别的，当\(n=m\)时，就是卡特兰数。
2.1、-1序列
将\(n\)个\(1\)与\(n\)个\(-1\)排列，使得任意位置的前缀和大于等于\(0\)。对于不合法的方案建立双射关系：一定存在一个位置前缀和为\(-1\)，假设前面有\(p\)个\(1\)，\(p+1\)个\(-1\)，那么后面有\(n-p\)个\(1\)，\(n-p-1\)个\(-1\)，将\(1、-1\)取反，此时后面有\(n-p-1\)个\(-1\)，\(n-p\)个\(1\)，总体就是有\(n-1\)个\(1\)和\(n+1\)个\(-1\)组成的排列。同理，我们可以把此反向映射回去，得到双射关系。方案数也就是\(C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}\)。
3.括号序列
左括号的数量始终大于等于右括号，即合法的括号序列。把左右括号看做\(1、-1\)，同上。
4.进出栈问题
\(1……N\)依次入栈，出栈顺序的方案数。考虑\(1\)的顺序：
1.\(1\)入栈；
2.\(2……k\)按照某种次序出栈；
3.\(1\)出栈；
4.\(k+1……n\)按照某种次序出栈。
写成递推式就表示为\(\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i-1}f_{n-i}\)，就是卡特兰数。
5.阶梯的矩形划分（树屋阶梯）。
一个阶梯被若干个矩形划分的方案数。
发现\(n\)个角不可能处于同一个矩形，那么枚举\(n\)个角哪一个与左下角的方块在一个矩形内，那么上方还剩下\(i-1\)个角，下方还剩下\(n-i\)个角，则递推式如上。
6.二叉树的构成问题（凸多边形的三角划分）
枚举左子树的大小，得到递推式\(f_n=f_0f_{n-1}+f_1f_{n-2}……f_{n-1}f_0\)。
7.不相交弦
在一个圆上有\(2n\)个点，两两配对，所得的弦彼此不相交，在圆上任选两个点连接，把圆分成两部分，左侧\(2(i-1)\)个点，右侧\(2(n-i)\)个点，得到递推式。
