数论
辗转相除法求最大公约数
inline int gcd(int a, int b)
{
int r = a % b;
while (r) a = b, b = r, r = a % b;
return b;
}
inline int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
线性筛筛素数
int ip[Z], tot;
bool prime[Z];
void PRIME(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!prime[i]) ip[++tot] = i;
for (int j = 1; j <= tot; ++j)
{
int k = i * ip[j];
if (k > n) break;
prime[k] = true;
if (i % ip[j] == 0) break;
}
}
}
质因数分解（试除法）
void divide(int x)
{
int m = 0, n = sqrt(x);
for (int i = 2; i <= n && x > 1; ++i)
{
int cnt = 0;
while (x % i == 0) x /= i, cnt++;
if (cnt) p[++m] = i, c[m] = cnt;
}
if (x > 1) p[++m] = x, c[m] = 1;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
cout << p[i] ^ c[i] <<endl;
}
求乘法逆元：若a*x ≡ 1 (mod b) ,则x为a在mod b意义下的乘法逆元，记为a^(-1)。注意：并非所有的情况下都存在乘法逆元，但是当 gcd(a,b)=1，即 a,b 互质时，一定存在乘法逆元。
- 费马小定理求逆元（p为素数）
inline int qpow(int a, int b, int p)
{
int res = 1;
while (b)
{
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
inline int inv(int a, int p) { return qpow(a, p - 2, p); }
- 扩展欧几里得求逆元（a与p互质）
ax≡1(mod p) --> ax-p*y=1
inline int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; }
int gcd = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return gcd;
}
inline int inv(int a, int p)
{
int x, y;
exgcd(a, p, x, y);
return (x % p + p) % p;
}
- 线性求逆元（p为素数）
void inverse(int p)
{
ny[1] = 1;
for (int i = 2; i < p; ++i)
ny[i] = (p - p / i) * ny[p % i] % p;
}
欧拉函数：
定义：小于等于 \(n\) 的数中与 \(n\) 互质的数的个数，用字母 \(\varphi\) 表示。
通项公式：
int euler(int n)//根据基础定义，求单个数的欧拉函数
{
int ans = n, m = sqrt(n);
for (int i = 2; i <= m; ++i)
if (n % i == 0)
{
ans = ans / i * (i - 1);
while (n % i == 0) n /= i;
}
if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
return ans;
}
int ip[Z], phi[Z];
bool prime[Z];
void euler_prime(int n)//线性求欧拉函数
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
if (!prime[i]) ip[++ip[0]] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= ip[0]; ++j)
{
int k = i * ip[j];
if (k > n) break;
prime[k] = 1;//p为素数
if (i % ip[j] == 0)
{
phi[k] = ip[j] * phi[i];
break;
}
else phi[k] = (ip[j] - 1) * phi[i];
}
}
}
同余知识：
剩余系：对于某一个特定的正整数m，一个整数集中的数模m所得的余数域（单个集合称为同余类）。例如：余数为a的集合可以表示为{a+km}，简记为\(\overline a\)
完全剩余系：模m的同余类有m个，{0,1,……,m-1}，它们构成了m的完全剩余系。
简化剩余系：1~m中与m互质的个数有\(\phi(m)\)个，它们构成m的简化剩余系。简化剩余系关于模m乘法封闭，其中任意数相乘也与m互质。
费马小定理：若p是质数，gcd(a, p) = 1，有 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。还有另一种形式：对于∀a∈Z， \(a^p \equiv a \pmod p\)
欧拉定理：若gcd(a, p) = 1，则\(a^{\phi(p)}\equiv 1 \pmod p\)，\(\phi(p)\)为欧拉函数
因为二者可以相互转化，所以一起证明：
构造一个序列A={1,2,3……,p-1}（即为p的简化剩余系），再取一个不是p的倍数的数a。
\(\because gcd(A_i, p) = 1, gcd(a, p) = 1, 且A_i与a同属于简化剩余系\)
\(\therefore gcd(A_i * a, p) = 1\)
\(\therefore\) p的简化剩余系可以记为{\(\overline a_1,\overline a_2……\overline a_{\phi(p)}\)}或{\(\overline {aa_1},\overline {aa_2}……\overline {aa_{\phi(p)}}\)}
为什么：假设对于不同的剩余系\(a_i,a_j;aa_i,aa_j\)代表相同的剩余系，也就是\(aa_i\equiv aa_j \pmod p\)，则\(a(a_i-a_j) \equiv 0\)，因为gcd(a, p)互质，所以\(a_i-a_j\equiv 0\)， 即\(a_i\equiv a_j\)，假设矛盾，所以可以代表不同的剩余系。
而简化剩余系之间一一对应，那么\(a_1a_2…a_{\phi(p)}\equiv aa_1aa_2…aa_{\phi(p)}\)，化简即得\(a^{\phi(p)}\equiv 1 \pmod p\)。
当p是质数时\(\phi(p)=p-1\)，此时\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
扩展欧拉定理：
