最大子段和 分治与动态规划
问题：
给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：
Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。
问题求解：
方法一：枚举
学过程序设计的都会，那就是枚举i和j，求i和a[i]到a[j]之间的和的最大值。
时间复杂度O（n^3）。这显然是不能接受滴。其实这其中进行了大量的重复计算。
#include<iostream> using namespace std; /*简单算法: **v[0]不保存数据 **T(n)=O(n^2). */ int MaxSum(int *v,int n,int *besti,int *bestj) { int sum=0; int i,j; for (i=1;i<=n;i++) { int thissum=0; for (j=i;j<=n;j++) { thissum+=v[j]; if (thissum>sum) { sum=thissum; *besti=i; *bestj=j; } } } return sum; } int main(void) { int n,m,i,j,k=0; int arr[100]; cin>>n; m = n; while(n--) { cin>>arr[k++]; } int r = MaxSum(arr,m,&i,&j); cout<<i<<" "<<j<<endl; cout<<r<<endl; return 0; }
方法二：分治
考虑能不能有O（n*logn）的算法呢？当然有了……
如果将给定的序列a[1..n]分成长度相等的两段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大字段和。则该给定序列的最大字段和有三种情行：
1）和a[1..n/2]的最大字段和相同。
2）和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。
3）最大字段和包含两部分，一部分在中，另一部分在a[n/2+1..n]中。
前两种情形我们可以用递归方法求出，第三种情形可以分别求出两部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]这部分求最大字段和要以a[n/2]结束，a[n/2+1..n] 这部分求最大字段和要以a[n/2+1]开始）。序列的最大字段和即为这三种情形的最大值。
这种情况下，显然时间复杂度为O(n*logn)。要是有O（n）的算法该多好呢？事实上还真有。这自然就是要想到动态规划了吧！！！
#include<iostream>
using namespace std;
/*分治法:
**将a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],则a[1n]的最大字段和有三种情况:
**(1)a[1n]的最大子段和与a[1n/2]的最大子段和相同
**(2)a[1n]的最大子段和与a[n/2n]的最大子段和相同
**(3)a[1n]的最大子段和为ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n
**T(n)=2T(n/2)+O(n)
**T(n)=O(nlogn)
*/
int MaxSum_DIV(int *v,int l,int r)
{
int k,sum=0;
if(l==r)
return v[l]>=0?v[l]:0;
else
{
int center=(l+r)/2;
int lsum=MaxSum_DIV(v,l,center);
int rsum=MaxSum_DIV(v,center+1,r);
int s1=0;
int lefts=0;
for (k=center;k>=l;k--)
{
lefts+=v[k];
if(lefts>s1)
s1=lefts;
}
int s2=0;
int rights=0;
for (k=center+1;k<=r;k++)
{
rights+=v[k];
if(rights>s2)
s2=rights;
}
sum=s1+s2;
if(sum<lsum)
sum=lsum;
if(sum<rsum)
sum=rsum;
}
return sum;
}
int main(void)
{
int n,m,i,j,k=0;
int arr[100];
cin>>n;
m = n;//记录数组的长度
while(n--)
{
cin>>arr[k++];
}
int r = MaxSum_DIV(arr,0,m);
cout<<r<<endl;
return 0;
}
方法三：动态规划
动态规划不太好理解
#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSum_DYN(int *a,int n)
{
int temp = 0,maxn = 0,k=1,i;
int start,end;
for(i=1;i<=n;i++)
{
temp+=a[i];
if(temp>maxn)
{
maxn = temp;
start = k;
end = i;
}
if(temp<0)
{
temp = 0;
k = i+1;
}
}
return maxn;
}
int main(void)
{
int n,m,i,j,k=0;
int arr[100];
cin>>n;
m = n;//记录数组的长度
while(n--)
{
cin>>arr[k++];
}
int r = MaxSum_DYN(arr,m);
cout<<r<<endl;
return 0;
}
分析一下这个算法，借用了一个临时变量temp，其实有三种情况：
1. 若temp>maxn则更新maxn，并保存开始和结束位置；
2. 若temp<0则令temp = 0，因为temp<0则不可能继续用temp更新最大值了；
3. 若0<temp<maxn，则不作操作，这是temp被认为是有潜力的，可能会用来更新后面的值。这样的一次遍历搜索到了所有的最大值。
（temp的使用时关键，好好理解这种思想。理解不了也没关系，这是比较难想的方法。）
编程珠玑上的经典题目，也已经被做烂了，除了最后一个方法，其他的都是浮云，但是最后一个方法写得也比较啰嗦，k完全没必要。
int Sum(int* a, int n) { int curSum = 0; int maxSum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { if (curSum + a[i] < 0) curSum = 0; else maxSum = max(maxSum, curSum += a[i]); } return maxSum; }
