「日常训练」COMMON 约数研究（HYSBZ-1968）

 

题意与分析

感谢https://www.cnblogs.com/Leohh/p/7512960.html的题解。这题话说原来不在我的训练范围，正好有个同学问我，我就拿来做做。数学果然不是我擅长的啊，这么简单我都不会。。。
简单说下自己的理解。
从原题出发容易得到的朴素算法容易超时，所以要想到转化问题。原题要求1~n的因数之和，反过来说，就是求1~n中有几个数分别是1、2、…、n的倍数。这个弯子转过来，题目就容易写了。直接变成O(n)算法。

有趣的是，如果数据规模变为$10^{12}$，这道题该如何写呢？前面O(n)算法时，得到的式子是∑ni=1⌊ni⌋∑i=1n⌊ni⌋。容易发现，⌊ni⌋⌊ni⌋会对若干个连续的i相等。这个相等的i的区间是什么呢？考虑$n=ki+p$，p若想最接近0，k应当为⌊ni⌋⌊ni⌋，此时的imaximax即为⌊n⌊ni⌋⌋⌊n⌊ni⌋⌋。那么，直接让下个i变为imax+1imax+1即可。这段区间对答案的贡献是$(i_{max}−i_{origin}+1)∗k$。可以证明，这样的算法的复杂度是不同的$floor(n/i)$的个数，也就是$sqrt(n)$。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
using namespace std;

template<typename T>
T
read()
{
    T tmp; cin>>tmp;
    return tmp;
}
int ans[1000005];
int
main()
{
    ZERO(ans);
    int n, tot=0; cin>>n;
    rep(i, 1, n)
    {
        tot+=n/i;
    }
    cout<<tot<<endl;
    return 0;
}