「暑期训练」「Brute Force」 Bitonix' Patrol （CFR134D1D）

题意

有n$n$个站点，排成圆形，每站间距m$m$，现从0点出发，提供t$t$个油箱，问：拿走若干个油箱可以让出发者无法到达任意一个站点，这样的方案有多少？（出发者可以顺时针走，也可以逆时针走）数据规模分别为：2 ≤ n ≤ 1000,1 ≤ m ≤ 120,1 ≤ t ≤ 10000$2\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}n\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}1000,1\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}m\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}120,1\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\le \hspace{0.17em}10000$

分析

本题想了好几天，看了若干个题解：

• 许昊然julao的codeforces解题报告
• https://blog.csdn.net/V5ZSQ/article/details/78949105
• 一份AC代码，不知道哪个julao写的

一并表示谢意。

首先要注意到几个个有趣的事实：对于一个容量vi$v_i$的油箱，它的作用与vi%m$v_i\mathrm{\%}m$等效。因为题目并不要求你到达第几个站点，它只想你达不到；另外，每个容量只能带一个，不然出发者显然可以原路返回；而类似地，vi$v_i$同m−vi$m-v_i$等效。
因此，题目的规模轻易的可以降到260$2^{60}$。这样就可以考虑状态压缩了。设状态保存在b（bitset）中，记bi$b_i$为真时，油量为i的油箱不可以使用（最后的解利用乘法原理计算）。那么，第j个被使用时，b转化为b|b>>>k|b<<<k$b|b>>>k|b<<<k$（即循环左移/循环右移）。简单说下为什么要右移：若原来第i个状态真，那么说明变为i时可以到达。那么现在必须让他达不到油箱容量i+k，才能使得出发者仍旧不能到达。
最终题目得解。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using pi = pair<int, int>;
using pii = pair<int, pi>;
const int MAXN=125;
using bst = bitset<MAXN>;
#define NDEBUG

template<typename T>
T read()
{
    T tmp; cin>>tmp;
    return tmp;
}

ll ans=0,mod=1000000007;
int n,m,k;
int cnt[MAXN];

inline bst mv(bst& x,int val,bool opt,int sz=m)
{
    if(opt) // left
    {
        return (x<<val)|(x>>(sz-val));
    }
    else    // right
    {
        return (x>>val)|(x<<(sz-val));
    }
}
void dfs(bst nb,int n,ll mulv)
{
    ans=(ans+mulv)%mod;
    rep(i,n,m/2)
    {
        if(cnt[i] && !nb[i] && !nb[m-i])
        {
            dfs(nb|mv(nb,i,true)|mv(nb,i,false),i+1,mulv*cnt[i]%mod);
        }
    }

}
int main()
{
QUICKIO
    //cin>>n>>m>>k;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    ZERO(cnt);
    rep(i,0,k-1)
    {
        //int tmp=read<int>()%m;
        int tmp; scanf("%d",&tmp);
        tmp%=m;
        cnt[min(tmp,m-tmp)]++;
    }
    bst tmp=1;
    dfs(tmp,0,1);
    printf("%d\n",int(ans%mod));
    //cout<<ans<<endl;
    return 0;
}