数学 - 线性代数导论 - #12 向量空间的衍生：矩阵空间、微分方程的解、图
线性代数导论 - #12 向量空间的衍生：矩阵空间、微分方程的解、图
- 凡是可以进行加法和数乘运算的对象，我们都可以将其视为向量。
- 凡是对加法和数乘封闭的集合，我们都可以将其视为空间。
- 分析空间时，我们着眼于其维度和基。
矩阵空间：把矩阵视为向量
矩阵空间的维度与基
一般地，空间内（即符合某些数量关系）的某个矩阵中独立的元素的个数等于该矩阵空间的维度。
找独立元素时可将所有元素都设为元，利用数量关系进行消元至元数最少。
e.g.
- dim (All 3*3 Matrices) = 9
- dim (All 3*3 Symmetric Matrices) = 6
- dim (All 3*3 Upper Matrices) = 6
- dim (All A that A is a 2*3 matrix, v= \(\left[ \begin{matrix} 2\\1\\1 \end{matrix} \right]\) and Av=0) = 4
找出独立元素后，我们将其数量关系体现在基中（拆分线性组合至单元相加，提出元将其变为常数\(C\)），其余的元素不妨效仿Gauss消元法置为0。
e.g.
The basis of … is
- All 3*3 Matrices: \(C_1\)\(\left[ \begin{matrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + … +\(C_9\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&1 \end{matrix} \right]\)
- All A: \(C_1\)\(\left[ \begin{matrix} 1&0&-2\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + \(C_2\)\(\left[ \begin{matrix} 0&-1&1\\0&0&0 \end{matrix} \right]\) + \(C_3\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\1&0&-2 \end{matrix} \right]\) + \(C_4\)\(\left[ \begin{matrix} 0&0&0\\0&-1&1 \end{matrix} \right]\)
矩阵空间的交集与“合集”
dim A + dim B = dim (A ∩ B) + dim (A + B)
A + B 中的 + 定义为：从A、B所含向量中各自任取一个向量相加。
Q: 为什么不是 A ∪ B ？
A: A ∪ B 中所有的矩阵不能构成空间，而A + B 可以。
秩1矩阵：rank = 1 的矩阵A
特性
- 行（列）向量之间呈倍数关系
- A = UV，其中U为任一列向量，V为任一行向量
用途
大矩阵可以分解为秩1矩阵。具体分解方法将在以后的内容中介绍。
微分方程的解：把函数视为向量
e.g. $\dfrac{d^2 y}{d x^2} + y = 0 $
易得: \(y_1=cosx\), \(y_2 = sinx\)
\(y_1\) 和 \(y_2\) 可以视作基，维数为2（原因未知）
那么解空间可以表示为: \(y=C_1cosx + C_2sinx\)
这也恰是特解、通解。
图：
图的概念
Graph = { Nodes, Edges }
Small World Graph
图的两个任意节点之间最远的距离是多少？将在以后的内容中解答。
