数学 - 线性代数导论 - #9 Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量
线性代数导论 - #9 Ax=b的解：存在性、解法、解的结构、解的数量
终于，我们在b为参数的一般情况下，开始分析Ax=b的解，包括标题中的四个方面。
首先是解的存在性。
从几何上说，当且仅当向量b位于列空间C(A)内时，Ax=b有解；
从代数上说，不能出现类似于“非0数=0”的矛盾方程：
1.这为我们判定是否有解提供了一个简便的途径：
根据Gauss消元法中对A和b进行行变换的同步性，行的相同线性组合的值一定相同。
所以假如A中各行可以通过简单的线性组合得到零行，而b进行相同线性组合的结果非0，则该方程组一定无解。
2.这为我们面对b为参数的一般情况进行的分类讨论提供了依据：
当我们使用Gauss消元法得到A中的零行时，回代前应该针对零行所对应的新b值是否为0进行分类讨论。
其次是解法、解的结构和解的数量，这里要求我们运用之前解Ax=0时的知识。
解法和解Ax=0大致相同。使用Guass消元法，确定主元，进一步确定主元变量和自由变量。
1.求出特解Xp：
置全部自由变量为0（简化运算），回代解出主元变量，得到Ax=b的一个解；
2.解出Ax=0的全部解XN：
也即基向量的全部线性组合，含有1或2个常数c；
3.通解X=Xp+XN：
因为A(Xp+XN)=AXp+AXN=b+0=b，这也就是所谓“解的结构”，通解由一个特解和零空间内的全部向量组成。
从几何上说，解空间由零空间平移得到。
但是，这种方法存在缺陷，不通用。问题就出在第一步。
如果没有自由变量怎么办？那后续的方法如何进行？解的结构还是那两个部分吗？
还有，如果根本就没有解，怎么办？
为了确定解的存在性；为了确定自由变量的个数，发掘其与解的数量及与之相对应的结构的关系，我们需要研究秩的概念。
之前已经提及，秩r=主元数。
如何利用r判定一个由m*n矩阵A构成的方程Ax=b的解的数量呢？
关键是：
1.自由变量的个数n-r（主元不同列），即r与n的相对关系；
2.零行（可能出现“非0数=0”的矛盾情况）的个数m-r（主元不同行以及主元非0），即r与m的相对关系；
综合考虑，只可能出现以下四种情况（根据主元选取规则，r显然小于等于m和n）：
1.r=m=n（”满秩”），一定有唯一解：
（1）没有零行，一定有解；
（2）没有自由变量，解唯一（回代之后解出）。
2.r=m且r<n（“行满秩”），一定有无穷多个解：
（1）没有零行，一定有解；
（2）有自由变量，有无穷多个解；
3.r<m且r=n（“列满秩”），解的个数为0或1：
（1）有零行，可能无解；
（2）没有自由变量，如果有解，则解唯一；
4.r<m且r<n，解的个数为0或无穷大：
（1）有零行，可能无解；
（2）有自由变量，如果有解，则有无穷多个解。
r与m，n的相对关系可以作为判据，检查我们求出的解正确与否（是否存在以及是否完备）。
