数学 - 线性代数导论 - #8 求解Ax=0/构造零空间

线性代数导论 - #8 求解Ax=0/构造零空间

 

本节课的主线十分清晰，就是讨论求解Ax=0的消元算法，中间穿插一些新定义。根据#7中构造向量空间的第二种思路，求解Ax=0的过程也就是构造零空间的过程。

以下是这个算法的基本步骤：

1.利用类Gauss消元法把矩阵A变换成行阶梯形矩阵U：

与Gauss消元法的相同之处在于逐列逐行选取主元，通过行变换使主元下方元素变为0，直至最后一列；

差异在于即使中间过程中出现了没有非零元素可供选为主元的现象，也继续下去，跳过这一列。

行阶梯形意即主元下方全是0的矩阵，由于中间列可能出现没有主元的现象，故不是严格的上三角矩阵，只是相似。

某一列没有主元，也就反映出这一列与左侧的列线性相关。

2.分出主变量和自由变量：

主变量即主元列对应的变量，自由变量即剩下的行对应的变量。

这里引入了“秩”(rank，直译为等级)的概念，在这个消元算法中，秩体现为主元的数量，也即主元列的数量，也即在线性方程组中对方程的求解实际起作用的方程数目。

根据秩的定义，我们不难推出主变量的个数为r，而一个m*n的系数矩阵对应的方程组中，自由变量的个数为n-r。

3.对自由变量取方便回代计算的特殊值，回代解出主变量，求得方程的一个特解：

这个特解，也即一个向量，满足Ax=0，故位于A的零空间内。

由于我们依靠其构筑零空间，故将其命名为基向量。

显然这个基向量的任意数乘结果也位于零空间中，为了体现这个性质，我们给它乘上一个常系数c。

4.如果自由变量的个数为1，那么求解/构造过程已经结束。如果自由变量的个数大于等于2，重复步骤3：

注意，自由变量取的第二个特值不能是第一个特值的任意实数倍。

5.Ax=0的解即为步骤3和步骤4求出的两个基向量的线性组合，零空间也由这两个向量的线性组合所构成。

 

对于上述算法步骤3中的“回代”过程，我们除了用传统代数方法进行运算，也可以将这个过程用矩阵语言表示。

进一步简化U的过程如下：

1.向上消元，把主元上方的元素也变为0；

2.通过行变换使主元化为1；

此时的矩阵，我们将其称为简化行阶梯形矩阵R。

由于我们的化简操作，此时的R呈现出一些特殊的形式，忽略0，可以将R切割成r*r的单位矩阵I和(n-r)*(n-r)的自由矩阵F。

 

在下节课中，我们将借助Ax=0，研究Ax=b。