数学 - 线性代数导论 - #7 向量空间的两种构成方式：列空间与零空间
线性代数导论 - #7 向量空间的两种构成方式：列空间与零空间
在#6中，我们介绍了向量空间的概念，提及了列空间的定义。本节课中，我们将通过对两种特殊向量空间——列空间与零空间的介绍，理解向量空间的两种构成方式。
首先是列空间C(A)。
C(A)指的是由矩阵A中的列向量的线性组合构成的空间。
C(A)是向量空间吗？显然是，因为这个空间构筑的方式就是向量的线性组合，它“天生”就符合向量空间的定义。
这个向量空间C(A)是Rn的子空间，其中n是维数也即每一个列向量的元素数目也即矩阵A的行数。
C(A)有什么用处呢？C(A)与向量b之间的关系可以说明Ax=b的解的存在性。
在#1我们就已经提及，列空间是我们从几何视角研究“Ax=b”的解x的一个基础性概念。所有的解x，也即对A进行线性组合的系数集合，应该能使组合的结果为预设的b。
换言之，对于特定的A，不是任意的b都能使Ax=b有解。只有当向量b包含于C(A)时，Ax=b才有解。
我自己原有的想法中有一个谬误：对于一个含有m个方程n个未知数的线性方程组，只要m<=n，方程组就一定有解？
显然不一定，各个方程之间不能够“相互冲突”。
翻译为线性代数的语言，A中的每一列必须“线性无关”。
线性相关的定义在高数（上）中已经提到了，不再赘述。从列空间的角度来看，如果去掉某一列之后，列空间不发生变化，也即这一列在构筑列空间的过程中没有“贡献”，那么这一列与其它列中的某一列（可能直接成倍数关系）或某两列（可能为两列的和或其它线性组合）线性相关。
矩阵A中的n列线性相关时，C(A)会比相同列数、线性无关的矩阵的列空间更小（也就是列空间无法充满Rn），换言之，使方程有解的b的数量也就更少（Rn中的b不一定位于子空间C(A)中）。故这种情况下对于任意的b方程组不一定有解。
其次是零空间N(A)。
N(A)是所有满足“Ax=0”的向量构成的空间。
N(A)是向量空间吗？我们使用封闭性检验来检查。
从N(A)中任取两个元素向量v和向量w，已知Av=Aw=0。
对于数乘结果kv，Akv=kAV=0，故kv仍在N(A)中；
对于加法结果v+w，A(v+w)=Av+Aw=0，故v+w仍在N(A)中。
综上，N(A)是向量空间。
N(A)使用消元算法求得，具体步骤将在之后的学习中介绍。
列空间和零空间都是向量空间。但是，这两种向量空间是从相反的方向生成的：
1.列空间：已有向量的线性衍生，这也是上一课#6中我们的思路；
2.零空间：求解出所有符合线性关系式的向量再进行合并，这将是我们进一步讨论Ax=b的思路之一。
它们又是统一的。所谓的向量空间，可以抽象为通过线性关系联系的集合。符合关系与否，等价于在空间内与否。
事实上，抛开向量空间的限定，所有由向量构成的空间，都具有这两种构成思路。
比如，我们讨论所有满足Ax=b的向量x构成的空间。
它是向量空间吗？如果b不是零向量，那显然不是。
那它是什么空间呢？这个问题也将在之后的学习中介绍。
线性代数的学习逐渐进入深水区，附上Prof. Strang的金句供君一笑：
