hdu 3501 Calculation 2

传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3501

题意：

　　求小于等于N(N<1000000000)的所有与N不互质的数的和

题解：

　　据说某个数论书上有结论ans=N*(N-1)/2-N*phi(N)/2;

　　一个很好的思路：用N-1个数的和减去所有为gcd(N,i)为1的数的和就是答案啦。 那么怎么求这些gcd(N,i)==1的和呢。。。

　　先证明这个东西：如果gcd(N,i)==1，那么gcd(N,N-i)==1; 这个东西通过反正法很好证的

　　假设gcd(N,N-i)==x,那么i也将是x的倍数,如果x!=1,将于gcd(N,i)==1矛盾，所以若i与N互质，N与N-i也就互质啦.

　　证明这个结论的正确性之后，对于所有的与N互质的数i加上N-i就是N，而且一共有phi(N)个与N互质的数，所以N*phi(N)就是2倍的与N互质的数的和(i与N-i各计算了一次)，用N-1个数的和减去N*phi(N)/2也就是答案啦。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
long long N;
long long sum(long long n) {return n*(n+1)/2;}
long long phi(long long x) {
    long long ret=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;++i) if(x%i==0) {
        x/=i; ret=ret/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}
int main() {
    while(~scanf("%lld",&N),N) printf("%lld\n",(sum(N-1)-N*phi(N)/2)%mod);
    return 0;
}