全排列与逆序对

　　在百度上搜索“全排列及其逆序数”能找出N多结果，但是内容很分散。本文旨在对这一方面的问题进行总结整理，如有不完整或者错误之处请与本人联系。

　　下面是正文。

　　一．预备知识

　　这部分就是百度上一搜一大片的东西，不过还是强调一下。

　　1．全排列

　　　　从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m＝n时所有的排列情况叫n的全排列。[1]对于n的全排列，共有n!种情况。

　　2. 逆序、逆序数和奇、偶排列

　　　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。[2]

　　例如，对于n=3的全排列：

全排列	123	231	312	132	213	321
逆序数	0	2	2	1	1	3
奇偶性	偶			奇

　　二．相关问题

　　1. 给定一个排列，求它的逆序数。[3]

问题：给定一个排列，求它的逆序数是多少。

　　　　分析：设 p1,p2,…,pn 为n的一个全排列，则其逆序数为t=t1+t2+…+tn=

　　　　其中 ti为排在pi 前，且比pi 大的数的个数。

　　　　这部分代码比较简单，此处略去。

　　2. 根据逆序数推排列数。[4]

问题：给定一个n元排列，它的逆序数存在且唯一。那么反过来，已知一个n元排列的逆序数为m，
这样的n元排列有多少种？

　　分析：我们用f(n,m)表示逆序数为m的n元排列的个数,则求满足条件的排列个数问题就转化为求f(n,m)的值的问题。

　　为了得到最终结果，我们先研究f(n,m)的性质。可以得到以下几个命题：

　　[命题1] 对任意n>=2且0<=m<=C(n,2)时f(n,m)>=1；当m>C(n,2)时,f(n,m)=0

　　　　C(a,b)表示从a个元素中选出b个元素的选择种数

　　证明：先证命题1的前半部分。

　　　　(1)n=2时，m只可能是0或1.有f(2,0)=1,f(2,1)=1

　　　　(2)假设n=k时命题成立,即有f(k,m)>=1(0<=m<=C(k,2))

　　　　当n=k+1时，排列1,2,3,…,k+1满足逆序数为0,所以有f(k+1,0)>=1

　　　　若m>=1，考虑某一逆序数为m-1的k元排列a1,a2,…,ak(由归纳假设知这个排列存在).现将k+1插入到a(k-1)和ak之间得到一个k+1元排列a1,a2,…,a(k-1),k+1,ak，这个排列的逆序数为m,所以f(k+1,m)>=1

　　　　综上所述，对所有的0<=m<=C(n,2)有f(n,m)>=1

　　　　再证命题的后半部分(比较显然)。

　　　　因为对于一n元排列，若要使其逆序数达到最大，那么排列中任两个数都构成逆序，其逆序数为C(n,2)，所以不可能存在一n元排列使其逆序数大于C(n,2)

　　[命题2] f(n,m)=f(n,C(n,2)-m)

　　　　证明：对于一个逆序数为m的n元排列a1,a2,…,an，n元排列an,a(n-1),…,a2,a1的逆序数为C(n,2)-m.同理，对于一个逆序数为C(n,2)-m的n元排列a1,a2,…,an，n元排列an,a(n-1),…,a2,a1的逆序数为m.

　　　　于是，逆序数为m的n元排列的集合和逆序数为C(n,2)-m的n元排列的集合是一一对应关系，所以f(n,m)=f(n,C(n,2)-m)

　　[命题3] f(n+1,m)=f(n,m)+f(n,m-1)+…+f(n,m-n)

　　　　先考虑由1,2,…,n组成的一个排列a1,a2,…,an，由于任一个由1,2,…,n,n+1构成的排列，可以看成将n+1加入的a1左边，或an的右边，或ai与a(i+1)之间(1<=i<=n-1)而形成的。又由于在n+1加入任一个位置之后，其前面没有比n+1大的数，其后面的数都比n+1小，而且加入n+1之后，使得对后面的每一个数而言，其前面比自身大的数的个数增加1，对n+1前面的数而言，其前面比自身大的个数不变。于是当选取n+1加入a1的左边时，排列a1,a2,…,an的逆序数变为m+n，当n+1加入ai与a(i+1)之间(1<=i<=n-1)时，排列a1,a2,…,an的逆序数变为m+n-i，当加入an的右边时，排列a1,a2,…,an的逆序数仍为m。

　　　　于是，对于任一逆序数为m的n+1元排列，考虑n+1所处的位置。若n+1在第k位，则其余n个元素构成逆序数为m-n+k-1的n元排列，且对任一逆序数为m-n+k-1的n元排列而言，当n+1放在该排列的某位，使得在新排列中n+1处于第k位，那么新排列成为一逆序数为m的n+1元排列。

　　　　于是，逆序数为m的n+1元排列的集合和逆序数为m的n元排列的集合是一一对应关系。这样，对于一个n+1元排列，f(n,m)表示n+1排在最后的排列个数，f(n,m-1)表示n+1排在倒数第二位的排列的个数……，f(n,m-n)表示n+1排在首位的排列个数，且f(n+1,m)为这些排列之和。

　　　　所以f(n+1,m)=f(n,m)+f(n,m-1)+…+f(n,m-n)(注:记b<0时，f(a,b)=0)

　　[命题4] f(n,0)=f(n,C(n,2))=1

　　[命题5] f(n,1)=f(n,C(n,2)-1)=n-1(n>1)

　　　　证明：由命题3和命题4有

　　　　　　　f(n,1)=f(n-1,1)+f(n-1,0)=f(n-1,1)+1

　　　　反复应用上式，根据f(2,1)=1，得到命题5成立

　　[命题6] f(n,2)=f(n,C(n,2)-2)=C(n,2)-1(n>2)

　　　　证明：由命题3，4，5有

　　　　　　f(n,2)=f(n-1,2)+f(n-1,1)+f(n-1,0)=f(n-1,2)+n-1

　　　　反复应用上式，根据f(2,2)=0，得到命题6成立

　　　　同理，可证明

　　　　　　f(n,3)=C(n,3)-C(n,2)-C(n,1) (n>3)

　　　　　　f(n,4)=C(n,4)+2C(n,3)-C(n,1) (n>4)

　　　　　　f(n,5)=C(n,5)+3C(n,4)+2C(n,3)-C(n,2)+1 (n>5)

　　　　　　…

　　　　我们可以无限递推下去，计算f(n,k)的时候要用到前面所推导出的f(n,1)~f(n,k-1)。但是却很难得到一个通项公式。这个问题就类似于用∑(k^t-(k-1)^t) 来求∑(k^(t-1))，每作下一项都要用到前面所有的结果。

　　　　由于在命题3中我们得出了一个关于f(n,m)的递推公式，而且又知道了一些初始值。因此可以设计一个程序，输入n,m，输出f(n,m)。[5]

　　参考代码：

program code1;
  var
    a:array[1..500,1..500]of longint;
    b,c:longint;
    i,j,m,n,k:longint;
  begin
    a[2,0]:=1;
    a[2,1]:=1;
    for i:=3 to 500 do
      for j:=0 to 499 do
        begin
          b:=j-i;
          if b<0 then b:=0
            else b:=j-i+1;
          for k:=n to j do
            c:=c+a[i-1,k];
          a[i,j]:=c;
          c:=0;
        end;
    readln(n,m);
    writeln(a[n,m]);
  end.

　　3. 根据每个数的逆序数，然后求出原排列。[6]

问题：对于一个集合S={1,2,3,...N}的任一排列a1、a2、a3、... aN，我们定义ai的逆序数为
∑(aj>ai | j<i)，即排在ai前的所有比ai大的数的个数。我们把每个数的逆序数按下标排出就构
成排列a1、a2、a3、... aN的一个逆序排列。比如排列 3 1 2 的逆序排列为 1 1 0(从左往右
依次是1的逆序数、2的逆序数、3的逆序数)。现在我们给出一个排列的逆序排列，请求出原排列。[7]

　　分析：<developing…一种题解请参阅引用7>

　　4. 给定逆序数，求满足此逆序数的最小排列。[8]

问题：对于n的全排列，给定一个正整数m，找到满足逆序数是m的最小的排列。例如，n=5，m=4，此
时满足逆序数为4最小的排列是1 3 5 4 2。

　　分析：解决此问题，要先了解以下几个命题和定理。（注意，在证明中排列的大于、小于指两排列在全排列中位置的前后关系，小于即在前，大于反之）

　　　　[定理1]对于n的全排列，在它完全倒序的时候（也就是n,n-1,…,2,1的时候）逆序数最多。

　　　　　　证明：此处省略，可用反证法简单证明。

　　　　[命题1]对于一个形如1,2,3,…,i-1,i,n,…i+1的排列q（如n=5时的1,2,5,4,3），即在数n前保证首项为1且严格以公差为1递增而数n之后排列任意的数列，

　　　　　　　　(1)当数n之后是递减的时候q的逆序数最多，为t=C(n-i,2)。

　　　　　　　　(2)排列q是出现逆序数为t的最小排列。

　　证明：首先证明(1)。

　　　这个证明很容易。因为数列的前i+1项已经确定，所以整个数列的逆序数只和i+2项到n项有关。显然，由定理1，当第i+2项到第n项完全倒序的时候逆序数最大。比如说排列1,2,5,4,3就比1,2,5,3,4构成的逆序对多。

　　　现在证明(2)。

　　　假设存在一个排列p的逆序数为m且p小于q。我们知道，q的前i位已经是数n在当前位置的最小排列。也就是说，在q中无论是n还是n之后的任意一个数，将它与q中的1到i位的任意一个数更换位置后得到的排列一定大于q。比如，对于排列q：1,2,5,4,3，前两个数1、2的位置是不能变的，否则会大于q，比如1,3,5,4,2。

　　　所以我们只能从q的第i+1位到n位入手。由(1)可知，当n在第i+1位时，无论后面的数怎么排列，逆序数都无法超过m。所以p的数n一定在第i+2到第n位的任一位上。

　　　好的，我们假设数n在第i+2位上。在这种情况下不难发现，我们把原来n后面最大的数填补到第i+1位，这时的逆序数最多。比如对于1,2,5,4,3，我们把5移动到第4位，然后将4填补到第3位，排列就变成了1,2,4,5,3，显然这要比1,2,3,5,4优。

　　　我们分析一下这时p的逆序数。因为数n到了第i+2位，则由它构成的逆序数为n-i-2。同样，由第i+1位（也就是例子中的4，即n-1）构成的逆序数也是n-i-2。显然，由于保持了递减的特征，剩下的第i+3到第n位的逆序数为C(n-i-2,2)。（这里姑且认为C(1,2)=1）这时总的逆序数为

　　　　　　　　　　t₁ =C(n-i-2,2)+2*(n-i-2)

　　　　　　　　　　　 =(n-i-2)(n-i-3)/2+2*(n-i-2)

　　　　　　　　　　　 =(n-i-2)(n-i+1)/2.

　　而q的逆序数

　　　　　　　　　　t₂=C(n-i,2)

　　　　　　　　　　=(n-i)(n-i-1)/2.

　　　用t₂-t₁，得到定值1。也就是说，无论n取何值，t₂总是大于t₁。

　　　如果再将数n向右移动一位，这时我们只有保持前1到i+1位（即例子中的1,2,3,4）不变才能够保证之后的变换能够使逆序数最大（这个很显然，不特别证明）。然而，当前面的i+1位确定了以后，怎么变换后面的数字才能够使总逆序数最大呢？还是要原来n后面最大的数填补到第i+1位。我们已经证明，这样做是不如不换优的。所以，不存在一个小于q的排列p使p的逆序数为m。证毕。

　　　　 [命题2]在命题1所设定的排列q的基础上，我们将数n后面的第k小数与数n的前一个数（即i）交换，然后使数n后面保持逆序。这样得到的新排列所含的逆序数为t=C(n-i,2)+k，且这个排列是逆序数为t的最小排列。

证明：首先，在此强调一下排列q的结构，如图一：

　　　由于操作以后数n之后仍然保持逆序，所以从第i+1到第n位的逆序数仍为C(n-i,2)。对于x来说，交换之前后面有k-1个比它小的数，交换之后又加上了一个，所以x所拥有的逆序数（即以x为左的逆序数）为k-1+1=k,此时总的逆序数为C(n-i,2)+k。

　　　对于新排列逆序数为t=C(n-i,2)+k的最小排列的证明与命题1的证明相似，在此处不加以详细证明。

　　　到此我们可以得出，命题2也是真命题。

　　　有了这两个命题作基础，我们很容易就能够得到这道题的算法。首先利用命题1，二分查找找到数n的位置，我们可以得到数n在这个位置的时候形如q的排列的逆序数t。然后计算t与m的差值，得出k，然后根据命题2进行变换，最后得出要求的排列。

　　　参考代码：

program code2;
  var
    m,n,p:int64;
    i,j:longint;
  function find(x:longint):longint;
    var
      l,r,mid,k1,k2:int64;
    begin
      l:=1;
      r:=n;
      while l<r do
        begin
          mid:=(l+r)>>1;
          k1:=((mid-1)*mid)div 2;
          k2:=(mid*(mid+1))div 2;
          if (x<k2)and(x>=k1)then
            exit(mid)
            else begin
                   if x>k1 then l:=mid+1;
                   if x<k1 then r:=mid;
                 end;
        end;
      if l=r then exit(l);
    end;
  procedure make;
    var
      k:int64;
      i,j:longint;
      v:array[1..50000]of boolean;
    begin
      fillchar(v,sizeof(v),false);
      k:=m-((p*(p-1))div 2);
      for i:=1 to n-p-1 do
        begin
          write(i,' ');
          v[i]:=true;
        end;
      v[n-p+k]:=true;
      v[n]:=true;
      if n-p+k>0 then write(n-p+k,' ');
      write(n,' ');
      for i:=n downto 1 do
        if not v[i] then write(i,' ');
    end;
  begin
    readln(n,m);
    p:=find(m);
    make;
  end.

　　本文介绍了有关全排列和逆序对的4个问题，层次有限而且欠全面。希望已经有的部分对你能够有所帮助，如果有任何纰漏，请尽快回复本文或者与我联系，谢谢！

引用来源：

[1]：百度百科 词条：全排列

[2]：百度百科 词条：逆序数

[3]：题目来源：经典问题

[4]：题目来源：经典问题

[5]：charlesgao数学博客 http://www.charlesgao.com/?p=19

[6]：题目来源：boj1275构造原排列

[7]：joaquin的百度空间 http://hi.baidu.com/joaquin_shj/blog/item/77961aea310d09d6d539c988.html

[8]：题目来源：POJ某题（寻找中）/某模拟赛-末日传说

扩展阅读：

[1]：HDU 1394 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1394