LeetCode-96-不同的二叉搜索树

题目

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3 输出: 5 解释: 给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3

思路

这道题我自己的思路比较凌乱，去看了一下解析就很清楚了，解析是这样说的：

本问题可以用动态规划求解。

给定一个有序序列 1 ... n，为了根据序列构建一棵二叉搜索树。我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，1 ... (i-1) 序列将成为左子树，(i+1) ... n 序列将成为右子树。于是，我们可以递归地从子序列构建子树。 在上述方法中，由于根各自不同，每棵二叉树都保证是独特的。

可见，问题可以分解成规模较小的子问题。因此，我们可以存储并复用子问题的解，而不是递归的（也重复的）解决这些子问题，这就是动态规划法。

问题是计算不同二叉搜索树的个数。为此，我们可以定义两个函数：

G(n): 长度为n的序列的不同二叉搜索树个数。
​
F(i,n): 以i为根的不同二叉搜索树个数(1≤i≤n)。

据此，我就开始自己思考状态转移方程，举例说明，当i=3，n=5时，根节点为3，那么左子树为1、2，右子树为4、5.左子树就可以表示为G(2)，比较麻烦的是右子树，但转念一想，4、5其实可以同时减去3变成1、2。因为同时减去一个数字后，他们的差值保持不变，相对的大小也就不变，那么形成的二叉搜索树的数量也就不变，由此可得状态方程：

G(n)   = F(1,n)+F(2,n)+……F(n,n);
F(i,n) = G(i-1)+G(n-i);

运行结果：

执行用时 :0 ms, 在所有 C 提交中击败了100.00% 的用户

内存消耗 :5.2 MB, 在所有 C 提交中击败了100.00%的用户

代码

#include <stdio.h>
​
int numTrees(int n)
{
    int G[1000] = {0};
    int i = 0, j = 0;
    // 定义初值
    G[0] = 1; G[1] = 1; G[2] = 2;
    
    
    for (j=3; j<n+1; j++)
    {
        for (i=1; i<j+1; i++)
        {
            int Pij = G[i-1] * G[j-i];
            G[j] += Pij;
        }
    } 
    return G[n];
}
​
​
int main(void)
{
    int n = -1;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", numTrees(n));
}