Saito Asuka saiko!!!

有些走累了呢 有些走累了呢 虽然以那麼平凡的表现 来形容人生的漫长道路 想稍稍休息下呢 想稍稍休息下呢 时间每分每刻都这样残酷 将我紧拖著前行...

博弈论

或许,这篇笔记能够让你成为替身使者,你渴望力量吗?

众所周知,达比(JOJO的奇妙冒险第三部中一反派)是一名狂热的赌徒,他曾经依靠赌博和替身能力赢得了很多人的财产和灵魂,并把这些灵魂做成筹码收集起来。他的快乐来自于赌博,和收集灵魂。他甚至对承太郎等人直言说,自己并不是受到了迪奥的命令,而是作为一名赌徒,想要赌博而赌博。他的赌博技巧极其高明,就连承太郎也评价他是一个极其危险的对手,差点使四人全灭。开始赌博时,会有口头禅“GOOD!”

综上所述,达比(或者是他的替身阿图姆神(アトゥム神))一定是学了博弈论,才会如此强大。

"博弈论,快用你那无敌的达比想想办法吧!!!"

博弈论

巴什博弈 Bash Game

Problem

有一堆物品共n个,两个人轮流拿,每次至少拿一个,至多拿k个,问是否有必胜的可能?先手必胜还是后手必胜?

结论

若n%(k+1)==0,,则先手必败

例题:CQYZ 取石子游戏1

Problem

Problem

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
void read(int &n){
	int num=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		num=num*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	n=num*w;
}
int n,k;
int main(){
	read(n);
	printf(n%(1+k)==0?"2":"1");
	return 0;
}

尼姆博弈 Nim Game

什么,是inm???

Problem

有n堆物品,第i堆数量为a[i],两个人轮流从某一堆取任意多的物品,每次至少一个,多者不限,最后取光者得胜。

结论

记k=a[1] xor a[2] xor a[3] xor ... xor a[n]

若k==0,则先手必败,否则先手必胜。

例题:luogu P2197 【模板】nim游戏

什么?是inm游戏?

Problem

Problem

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
void read(int &n){
	int num=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		num=num*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	n=num*w;
}
const int maxn=10005;
int t,n,a[maxn],k;
int main(){
	read(t);
	while(t--){
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
		k=a[1];
		for(int i=2;i<=n;i++) k=k^a[i];
		printf(k==0?"No\n":"Yes\n");
	}
	return 0;
}

SG函数

公平组合游戏

定义:

1、由对阵双方交替行动

2、游戏进程的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪个玩家无关

3、不能行动的玩家判负。


有向图游戏

给定一个DAG图(有向无环),图中有唯一的起点,在起点处放一个棋子,两名玩家交替沿着边的方向移动棋子,每次只能移动一步,无法移动着判负。这样的游戏叫做“有向图游戏”。
显然,任何的公平组合游戏都可以转化为有向图游戏:我们把每个局面看作节点,当一个局面通过合法行动变成另一个局面时,给这两个局面节点连一条有向边。就像我们画状态转移图一样。


Mex运算

设S表示一个非负整数集合,定义Mex(S)表示求一个不属于S的最小非负整数的运算,即:

\[mex\left(S\right)=min\left(x\right),x\in N \ and \ x \notin S \]


SG函数

在有向图游戏中,对于每个节点x,若其儿子为y1,y2…yk,定义函数SG(x),其值为x的所有儿子的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果,即:

\[SG\left(x\right)=mex\left(\{SG\left(y_i\right)\}\right) \]

特别的,整个有向图G的SG函数值被定义为起点s的SG函数值,即:SG(G)=SG(s)。令,对于终点e有SG(e)=0。

SG函数结论:

有向图游戏的某个局面必胜,当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0.

有向图游戏的某个局面必败,当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0.


应用

有向图游戏的和

定义一个有向图游戏G,它的每一次行动都可以在G1,G2…Gm共m个子游戏中选择,这里的G就叫做有向图G1,G2…Gm的和。则

\[SG\left(G\right)=SG\left(G_1\right)\ xor \ SG\left(G_2\right)...\ xor\ SG\left(G_m\right) \]

例题:CQYZ 移棋子游戏

Problem

Problem

分析

题目已经给出是DAG图,然后有K个棋子,自动联想到DAG游戏的和。

分析得到SG(u)的过程,我们需要得到这个u的所有后继节点vi的SG值。

所以考虑用拓扑排序。

于是便有两个部分:

1、求SG->需要找到后继->用正图存

2、求topolsit->需要找前继->用反图存

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
void read(int &n){
	int num=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		num=num*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	n=num*w;
}
const int maxn=2005;
int n,m,k,pos[maxn],rd[maxn],SG[maxn],vis[maxn];
vector<int> g[maxn],g2[maxn];//正图和反图 正图找后继求SG值 反图找祖宗拓扑排序 
void toposort(){
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(rd[i]==0) q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		//求Mex值
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		int maxx=0; 
		for(int i=0;i<g[u].size();i++){
			int v=g[u][i];
			maxx=max(maxx,SG[v]);
			vis[SG[v]]=1;
		}
		for(int mex=0;mex<=maxx+1;mex++)
			if(!vis[mex]){
			 	SG[u]=mex;
			 	break;
			}
		//toposort
		for(int i=0;i<g2[u].size();i++){
			int v=g2[u][i];
			if(rd[v]) rd[v]--;
			if(rd[v]==0) q.push(v);
		}
	}
}
bool iswin(){
	int S=SG[pos[1]];
	for(int i=2;i<=k;i++) S=S^SG[pos[i]];
	return S;
}
int main(){
	read(n);read(m);read(k);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;read(u);read(v);
		g[u].push_back(v);
		g2[v].push_back(u);
		rd[u]++;
	}
	for(int i=1;i<=k;i++) read(pos[i]);
	toposort();
	printf(iswin()?"win":"lose");
	return 0;
}
posted @ 2019-01-31 17:28  斋藤飞鸟  阅读(486)  评论(0编辑  收藏  举报
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