同余|欧拉定理|费马小定理|扩展欧拉定理|扩展欧几里得算法
同余
基本定理
欧拉定理
若a,m互质,则
\[a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right )
\]
应用
令,
,这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4,所以
。计算:
,而
。与定理结果相符。
计算的个位数,实际是求
被10除的余数。7和10互素,且
。由欧拉定理知
。所以
。
费马小定理
若p是质数,则对于任意整数a,都有
\[a^{p}\equiv a\left ( mod \ p \right )
\]
扩展欧拉定理
\[a^{b}\ mod \ m,若 b>=\varphi\left ( m \right ),则
\]
\[a^{b} \equiv a^{b\ mod\ \varphi \left ( m \right )+\varphi\left ( m \right )}\left ( mod \ m \right )
\]
扩展欧几里得算法
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