10.14T1 并查集
黑魔法师之门
(magician.pas/c/cpp)
题目描述
经过了16个工作日的紧张忙碌，未来的人类终于收集到了足够的能源。然而在与Violet星球的战争中，由于Z副官的愚蠢，地球的领袖applepi被邪恶的黑魔法师Vani囚禁在了Violet星球。为了重启Nescafé这一宏伟的科技工程，人类派出了一支由XLk、Poet_shy和lydrainbowcat三人组成的精英队伍，穿越时空隧道，去往Violet星球拯救领袖applepi。
applepi被囚禁的地点只有一扇门，当地人称它为“黑魔法师之门”。这扇门上画着一张无向无权图，而打开这扇门的密码就是图中每个点的度数大于零且都是偶数的子图的个数对1000000009取模的值。此处子图 (V, E) 定义为：点集V和边集E都是原图的任意子集，其中E中的边的端点都在V中。
但是Vani认为这样的密码过于简单，因此门上的图是动态的。起初图中只有N个顶点而没有边。Vani建造的门控系统共操作M次，每次往图中添加一条边。你必须在每次操作后都填写正确的密码，才能够打开黑魔法师的牢狱，去拯救伟大的领袖applepi。
输入格式
第一行包含两个整数N和M。
接下来M行，每行两个整数A和B，代表门控系统添加了一条无向边 (A, B)。
输出格式
输出一共M行，表示每次操作后的密码。
样例输入
4 8
3 1
3 2
2 1
2 1
1 3
1 4
2 4
2 3
样例输出
0
0
1
3
7
7
15
31
样例说明
第三次添加之后，存在一个满足条件的子图 {1, 2, 3}（其中1, 2, 3是数据中边的标号）。
第四次添加之后，存在三个子图 {1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{3, 4}。
……
数据范围与约定
对于30% 的数据，N, M≤10。
对于100% 的数据，N≤200000，M≤300000。
分析:构造法
大致思路：
实际上每次操作后的答案就是 2^(图中”元”环的个数)。
元环的意思，(1-2-3-4-1)和(3-4-5-3)是元环，1-2-3-5-4-1不是，因为它可以看做由上述的两个环合成。
因为一个环里每个点的度数都是大于零的偶数，我们可以这样来构造答案：每个环有选和不选两种选择，如果选择了该环，那么环上所有边的“选择次数”+1。最后取所有“选择次数”为奇数的边构成一个边集，就是一个答案。可以证明这样构造出来的解不重复且涵盖了所有情况。因此答案就是2^(图中”元”环的个数)。实现方法非常简单，只需要一个并查集即可。
具体实现方法：
并查集维护连通性，初始化ans=1。
加入一条边(x,y)时，如果x和y在同一集合内，ans*=2。
每次询问输出ans-1。
时间复杂度O(Mα(N))，α(N)代表并查集的复杂度。
注意此题做的时候要加上读优
code：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 int fa[1000005]; 5 const int mod=1e9+9; 6 int find(int x){ 7 if(x!=fa[x])return fa[x]=find(fa[x]); 8 return fa[x]; 9 } 10 void merge(int x,int y){ 11 int f1=find(x),f2=find(y); 12 if(f1!=f2){ 13 fa[f1]=f2; 14 } 15 } 16 int read(){ 17 int x=0,f=1; 18 char c=getchar(); 19 while(!isdigit(c)){ 20 if(c=='-')f=-1; 21 c=getchar(); 22 } 23 while(isdigit(c)){ 24 x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; 25 c=getchar(); 26 } 27 return x*f; 28 } 29 int main(){ 30 int n,m; 31 n=read(),m=read(); 32 int ans=1; 33 for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i; 34 for(int i=1;i<=m;i++){ 35 int u,v; 36 u=read(),v=read(); 37 if(find(u)!=find(v)){ 38 merge(u,v); 39 cout<<ans-1<<'\n'; 40 continue; 41 } 42 ans*=2; 43 ans%=mod; 44 cout<<ans-1<<'\n'; 45 } 46 return 0; 47 }
over
