NOIP2016DAY2T1 组合数问题

描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足  是k的倍数。

输入

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出

t行，每行一个整数代表答案。

样例输入[复制]

1 2
3 3
输入样例#2：
2 5
4 5
6 7

样例输出[复制]

1
输出样例#2：
0
7

提示

【样例1说明】

在所有可能的情况中C（1,2），只有是2的倍数。

【子任务】

 

 

这个题数据2000，所以直接暴力求是不行的

注意题目所给的式子实际是一个幌子，组合数有两种求法，一种是题目的式子，另一种是递推算法

那么递推式是什么

c[m,n]=c[m-1,n-1]+c[m-1,n]，证明就用题目的式子进行证明

那么如果你不知道这个结论，请你打表，你会发现有杨辉三角关系

然后由于是多次询问，k不变，那么我们就可以前缀和水一波

我们就可以直接预处理c[i][j]的值，注意随时对k取模，如果取模之后是0就是成立所求的，然后求前缀和

询问一次Θ(1)的效率，超级快，复杂度几乎是常数

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int c[2005][2005];
int sum[2005][2005];
int main() {
    int t,k,n,m;
    cin>>t>>k;
    c[1][1]=1;
    c[1][0] = c[1][1] = 1;
    for (int i=2;i<=2000; i++) {
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=2000;j++){
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
        }    
    }
    for(int i=1;i<=2000;i++){
        for(int j=1;j<=2000;j++){
            if(c[i][j]||j>i){
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
            }
            else{
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+1;
            }
        }
    }
    while(t--) {
        cin>>n>>m;
        cout<<sum[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}

over