【考试总结】2021.6.26 考试总结
前言
最近考试考得挺多的……这次算，考得还行？\(\text{rk16}\)。
话说 Peter 崛起了啊，\(\text{rk7}\)……
然鹅我和他都因为数组开小少得了 \(\text{60pts}\)……
OJ最终成绩：\(40+100+55+5+0=200\)
Lemon 上不知道。
快乐的题解时间
T1
题意简述
有 \(T\) 组数据，每组数据给定 \(n\) 个数字，记为 \(a_1,a_2,\ldots a_n\)。在这一组数据中选出 \(5\) 个数字使得这 \(5\) 个数字的乘积最大。
果然是不开 long long 见祖宗啊……
还有就是数组开小，后 \(10\) 个点全 \(\text{RE}\) 了……
我 tm 直接 \(\text{AC 100pts → WA+RE 40pts}\)……
法一：贪心
我们知道乘积要最大，一定要让它尽量为正数。
那么，首先我们先按照绝对值的大小将数组从大到小排序。然后我们看一看：
-
如果前 \(5\) 个数字中有 \(0\)，那说明这组数据中不为 \(0\) 的数少于 \(5\) 个。那么结果一定为 \(0\)。
-
如果前 \(5\) 个数字的乘积为正数，那么这个乘积一定是最优解。证明很简单，相信大家都明白。
那么如果这 \(5\) 个数的乘积是负数呢？
那么首先我们分析最小那个数（即第 \(5\) 个数）是否可以被换成一个和它正负相反的数字。因为我们知道，当一个乘积为负的时候，只需要换一个就可以了。找当然是从前往后找，找到一个就立刻输出，然后 return。因为这已经是最优解了。
继续，如果找不到怎么办？那我们就找与 \(a_4,a_3,a_2,a_1\) 正负相反的数来代替它（此时的 \(a\) 数组已经排过序，还是按照绝对值从大往小找保证找到的是最优解，当然，前 \(4\) 个数字要从小往大找）。
那如果还是找不到呢？那么，这组数据一定是不能凑出正数。那么我们就只能找绝对值最小的 \(5\) 个数（包括 \(0\)）来凑乘积了。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int t,n,a[100005];
bool f;
bool cmp(int x,int y){return abs(x)>abs(y);}
bool cmp2(int x,int y){return abs(x)<abs(y);}
void s(){
int h=0;
bool b[15]={};
for(int i=1;i<=5;i++){
b[i]=(a[i]<0);
h+=(int)b[i];
if(!a[i]){
printf("0\n");
return;
}
}
if(!(h&1)){
printf("%lld\n",a[1]*a[2]*a[3]*a[4]*a[5]);
return;
}
bool d=!b[5];
for(int i=6;i<=n;i++){
if((a[i]<0)==d){
printf("%lld\n",a[1]*a[2]*a[3]*a[4]*a[i]);
return;
}
}
for(int i=4;i;i--){
if(b[i]!=b[5]){
int y=a[1]*a[2]*a[3]*a[4]*a[5];
y/=a[i];
for(int j=6;j<=n;j++){
if((a[j]<0)!=b[i]){
y*=a[j];
printf("%lld\n",y);
return;
}
}
}
}
sort(a+1,a+n+1,cmp2);
printf("%lld\n",a[1]*a[2]*a[3]*a[4]*a[5]);
return;
}
signed main(){
freopen("maximum.in","r",stdin);
freopen("maximum.out","w",stdout);
scanf("%lld",&t);
while(t--){
f=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),f=f|(!a[i]);
sort(a+1,a+n+1,cmp);
s();
}
return 0;
}
法二：DP
As we all know，最大的乘积是有可能从最小的数（绝对值比较大）乘一个负数得到~
所以，如果我们使用 DP 来求解这个问题的话，需要开两个 \(dp\) 数组来分别存最大值和最小值。
如果要求最大值（至少得是个正数吧），有两种方法来求：
-
两个正数（其中一个是前面的最大值）相乘；
-
两个负数（其中一个是前面的最小值）相乘。
求最小值也有两种方法，不过我现在用的这个电脑输入法实在是太不好用了，所以我真的不想写了。。。
见代码……
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int t,n,a[100005];
ll dp1[100005][6],dp2[100005][6];
signed main(){
freopen("maximum.in","r",stdin);
freopen("maximum.out","w",stdout);
scanf("%d",&t);
while(t--){
memset(dp1,128,sizeof(dp1));
memset(dp2,127,sizeof(dp2));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=0;i<=n;i++) dp1[i][0]=dp2[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=min(i,(int)5);j++){
dp1[i][j]=max(max(dp1[i-1][j-1]*a[i],dp2[i-1][j-1]*a[i]),dp1[i-1][j]);
dp2[i][j]=min(min(dp1[i-1][j-1]*a[i],dp2[i-1][j-1]*a[i]),dp2[i-1][j]);
}
}
printf("%lld\n",dp1[n][5]);
}
return 0;
}
T2
水题，打表即可……
Code
//有亿点长的打表代码 qwq
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int I,V,X,L,C,D,M,n;
string sc(int x){
int qian=x/1000;
x%=1000;
int bai=x/100;
x%=100;
int shi=x/10;
x%=10;
string s;
//千位
if(qian==1) s="M";
else if(qian==2) s="MM";
else if(qian==3) s="MMM";
//百位
if(bai==1) s+="C";
else if(bai==2) s+="CC";
else if(bai==3) s+="CCC";
else if(bai==4) s+="CD";
else if(bai==5) s+="D";
else if(bai==6) s+="DC";
else if(bai==7) s+="DCC";
else if(bai==8) s+="DCCC";
else if(bai==9) s+="CM";
//十位
if(shi==1) s+="X";
else if(shi==2) s+="XX";
else if(shi==3) s+="XXX";
else if(shi==4) s+="XL";
else if(shi==5) s+="L";
else if(shi==6) s+="LX";
else if(shi==7) s+="LXX";
else if(shi==8) s+="LXXX";
else if(shi==9) s+="XC";
//个位
if(x==1) s+="I";
else if(x==2) s+="II";
else if(x==3) s+="III";
else if(x==4) s+="IV";
else if(x==5) s+="V";
else if(x==6) s+="VI";
else if(x==7) s+="VII";
else if(x==8) s+="VIII";
else if(x==9) s+="IX";
return s;
}
int main(){
freopen("introduction.in","r",stdin);
freopen("introduction.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
string s=sc(i);
int j=0;
while(s[j]){
if(s[j]=='I') I++;
else if(s[j]=='V') V++;
else if(s[j]=='X') X++;
else if(s[j]=='L') L++;
else if(s[j]=='C') C++;
else if(s[j]=='D') D++;
else if(s[j]=='M') M++;
j++;
}
}
if(I) printf("I %d\n",I);
if(V) printf("V %d\n",V);
if(X) printf("X %d\n",X);
if(L) printf("L %d\n",L);
if(C) printf("C %d\n",C);
if(D) printf("D %d\n",D);
if(M) printf("M %d\n",M);
return 0;
}
T3
和 LIS 问题的普通版求解差不多，只是需要多开一维记录前一个是上升还是下降。
zmq 说也可以用贪心统计折点的数量再 \(+1\)，但是我交了之后只有 \(\text{45pts}\)，也不知道是我实现错了还是他说错了。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,num,dp[10005][2],a[10005];
bool b[10005];//0为上升，1为下降
int main(){
freopen("sawtooth.in","r",stdin);
freopen("sawtooth.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
dp[1][0]=dp[1][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
if(a[i]<a[j]) dp[i][0]=max(dp[i][0],dp[j][1]+1);
if(a[i]>a[j]) dp[i][1]=max(dp[i][1],dp[j][0]+1);
}
num=max(num,max(dp[i][0],dp[i][1]));
}
printf("%d",num);
return 0;
}
T4
\(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 只 mjl 马进前 \(j\) 个马棚产生的最小不愉快系数。
对于每一只 mjl 马，我们可以把它和它前面的 一些 mjl 马一起装在一个马棚里，说具体点，就是再用一层循环，\(q\) 代表从第 \(q\) 只 mjl 马开始就和第 \(i\) 只马装在一个马棚里。这样产生的不愉快系数就是 \(dp_{q-1,j-1}\) + 这个马棚里的不愉快系数。那这个不愉快系数怎么算呢？用前缀和统计一下这个区间里黑 mjl 马和白 mjl 马的数量再相乘就可以了。具体看代码。
\(dp\) 初始化成 \(\text{INF}\)，\(dp_{0,0}=0\)。
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,a[505],b[505],w[505],dp[505][505];
int main(){
freopen("horse.in","r",stdin);
freopen("horse.out","w",stdout);
memset(dp,127,sizeof(dp));
dp[0][0]=0;
scanf("%d %d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
w[i]=w[i-1]+(!a[i]);
b[i]=b[i-1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=min(i,k);j++){
for(int q=j;q<=i;q++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[q-1][j-1]+(w[i]-w[q-1])*(b[i]-b[q-1]));
}
}
}
printf("%d",dp[n][k]);
return 0;
}
T5
虽然 A 了但是并不明白是怎么回事算了吧……
