【学习笔记】高精度算法
前言
之前做题，有时候会听到老师说：“这道题数据太大，要高精度。”
有些题的数据范围可以毒瘤到连开挂神器__int128都救不了你，这个时候我们就会选择：
让电脑跟我们人一样计算！毕竟人只要时间够，不管多大的数都是可以算出来的。
这就是高精度算法。
高精度的那些板子计算
说句闲话：高精度算法需要使用到\(string\)类型的字符串，这里不提，请自行 BDFS。
1.高精度加法
要做高精度，首先需要了解人是怎么算的。
小学一年级内容出现了！（雾，大雾，伦敦雾
先看以上算式：
第一步：从低位往高位算，\(8+7=15\)。末位为5，往前进一位。
ans 0 1 5
第二步：算十位，\(2+3+1=6\)（1为进位），十位为6，不进位。
ans 0 6 5
第三步：算最高位，\(3+1=4\)，最高位为4。
ans 4 6 5
ans就是最终的答案了。
但是有个问题：上面这个例子两个加数的例子是一样的，那要是不一样呢？程序不就弄错了吗？
解决方法很简单：把两个加数倒着存就行了，这样因为数组初始化的原因，后面的数都会变成0，即会在前面自动补0。最后算出来的答案也是倒着的，再进行处理。
具体过程如下：(没错我又在水博客了，巨佬们直接跳过吧【滑稽】)
1.倒序存储
a 8 2 3
b 7 3 1
c 0 0 0
2.算第一位，进位直接存在下一位中
a 8 2 3
b 7 3 1
c 5 1 0
3.继续算，记得加上数组里本来就有的值（即进位）
a 8 2 3
b 7 3 1
c 5 6 0
4.一直循环，直到最后算完出结果
a 8 2 3
b 7 3 1
c 5 6 4
5.把答案倒过来输出
5 6 4 --> 465
这样就是一个不完整的高精度加法的过程。
为什么不完整呢？因为程序可能会在计算位数的时候出错（程序会把和的位数计算为加数中位数较大的那一个数的位数+1，但是不一定会进位），所以在结束计算之后，需要判断和的第一位是否为0，如果是就需要去除。
这就完整了！
最后给出一份有注释的高精度加法板子代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5005],b[5005],c[5005];//定义全局，即初始化为0
string add(string a1,string b1){
//前置工作
string c1;
int lena=a1.size();
int lenb=b1.size();
//倒序存储并转换为整数类型
for(int i=0;i<lena;i++){
a[lena-i]=a1[i]-'0';
}
for(int i=0;i<lenb;i++){
b[lenb-i]=b1[i]-'0';
}
//做加法
int lenc=1;
//做加法的次数为两个高精度数中较大的位数
while(lenc<=lena||lenc<=lenb){
c[lenc]+=a[lenc]+b[lenc]; //加法
c[lenc+1]=c[lenc]/10; //进位
c[lenc]%=10; //取个位
lenc++;
}
//去除前导0
if(!c[lenc])
lenc--;
//把c存到c1里面
while(lenc>=1)
c1+=c[lenc--]+'0';
return c1;
}
int main(){
string a1,b1;
cin>>a1;
cin>>b1;
cout<<add(a1,b1);
return 0;
}
2.高精度减法
思路和高精度加法差不多，就是把进位换成退位，每次退位就让当前位数上的数加上10，然后让前面那个位数的答案-1。要注意前导0可能不止一个，需要连续去除。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5005],b[5005],c[5005];
string sub(string a1,string b1){
//前置工作
if(a1==b1)
return "0";
string c1;
int lena=a1.size();
int lenb=b1.size();
//倒序存储并转换为整数类型
for(int i=0;i<lena;i++){
a[lena-i]=a1[i]-'0';
}
for(int i=0;i<lenb;i++){
b[lenb-i]=b1[i]-'0';
}
//做减法
int lenc=1;
//做减法的次数为两个高精度数中较大的位数
while(lenc<=lena||lenc<=lenb){
c[lenc]+=a[lenc]-b[lenc]; //减法
if(c[lenc]<0){ //退位
c[lenc]+=10; //借位
c[lenc+1]=-1; //前面的要-1
}
lenc++;
}
//去除前导0
while(!c[lenc])
lenc--;
//把c存到c1里面
while(lenc>=1)
c1+=c[lenc--]+'0';
return c1;
}
int main(){
string a1,b1;
cin>>a1;
cin>>b1;
cout<<sub(a1,b1);
return 0;
}
3.高精度乘法
这个就有点意思了。
再来看一个竖式：
乘法又是怎么算的呢？
根据日常经验，我们能很快发现：需要先将一个数拆掉，一位一位去乘另一个数，然后把结果加起来，不过加起来的时候需要乘以10^{最小位数-1}。
那事情就变得容易了起来，一个双重循环，每一次循环让被拆掉的那个数的每一位乘以另一个数，加在答案里，进位和加法差不多，不过要注意进位可能不止一位。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5005],b[5005],c[10005];
string mul(string a1,string b1){
//如果有数为0直接返回0
if(a1=="0"||b1=="0")
return "0";
//前置工作
string c1;
int lena=a1.size();
int lenb=b1.size();
//倒序存储并转换为整数类型
for(int i=0;i<lena;i++){
a[lena-i]=a1[i]-'0';
}
for(int i=0;i<lenb;i++){
b[lenb-i]=b1[i]-'0';
}
//做乘法
int lenc;
for(int i=1;i<=lena;i++){
for(int j=1;j<=lenb;j++){
lenc=i+j-1; //存进去的位数
c[lenc]+=a[i]*b[j]; //乘法
c[lenc+1]+=c[lenc]/10; //进位
c[lenc]%=10; //取个位
lenc++;
}
}
lenc=lena+lenb;
//去除前导0
while(!c[lenc])
lenc--;
//把c存到c1里面
while(lenc>=1)
c1+=c[lenc--]+'0';
return c1;
}
int main(){
string a1,b1;
cin>>a1;
cin>>b1;
cout<<mul(a1,b1);
return 0;
}
4.高精度除法之高精除以低精
没学高精度之前一直不知道为什么要把除法分成两个部分，学了之后才发现这难度根本不是一个级别的！awa
首先还是思考人是怎么列竖式做除法的。（emmm不会用\(\LaTeX\)写竖式就只能写一个很丑的竖式了www）
做除法的步骤是：
1.用现在判断到这一位之前的数除以除数，把商存在答案中；
2.计算余数；
3.循环1~2，直到判断完毕。
这应该是一个很正确的思路，但是其实它本来是对的，但是放到程序里就错了。
为什么呢？
首先除以除数（第一步）的代码是这个样子的：
c[i]=(a[i]+c[i])/b;
第二步求余数的代码是这个样子的：
c[i+1]=(a[i]+c[i])%b*10;
很容易注意到，在执行第一步操作的时候，\(c[i]\)的值会发生改变，但是求余数需要用到的\(c[i]\)却必须是原来的值。
所以在代码的实现中，要先求余数再求商。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10005],b,c[10005];
string div(string a1,int b){
if(a1=="0")
return "0";
//前置工作
string c1;
int lena=a1.size();
//转换为整数类型
for(int i=0;i<lena;i++){
a[i+1]=a1[i]-'0';
//printf("%d",a[i+1]);
}
//除法
for(int i=1;i<=lena;i++){
/*
※错点：一定要先求下一位余了多少再求现在的位数，
因为求现在的位数时c[i]的值会更新
*/
c[i+1]=(a[i]+c[i])%b*10; //求下一位余了多少
c[i]=(a[i]+c[i])/b; //计算当前位数的值
}
int lenc=1;
while(!c[lenc])
lenc++;
for(int i=lenc;i<=lena;i++)
c1+=c[i]+'0';
return c1;
}
int main(){
string a1;
cin>>a1;
scanf("%d",&b);
cout<<div(a1,b);
return 0;
}
5.高精度除法之高精除以高精
emmm……
直到现在我的高精除高精还是没写出来啊╮(╯▽╰)╭，因为我感觉这个程序不是bug太多，而是整个程序就是一个bug……
先看思路。
首先高精除高精是不能像低精除法那样直接除的（不然请你告诉我怎么除），这里采取的方式是：用减法模拟除法。
设置一个变量\(flag\)，代表现在判断到了第几位。在这一位以及这一位之前组成的数就是被减数，除数就是减数。判断一下两个数之间还能否相减（即被减数是否还大于减数），如果不行了就判断下一位，如果还可以就继续减，直到不能减为止。
说得简单，这玩意儿实现起来超级无敌难的。
我的代码一直都是 \(\texttt{TLE}\ 10\) 分，不过思路应该是对的，也拿出来给大家看一下。
//一个bug比头发还多的高精除高精代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[5005],b[5005],c[5005],d[5005];
//这是判断是否还能减的函数
bool check(int flag,int lena,int lenb){
if(flag<lenb)
return false;
int sum=0;//统计前面有多少个前导0
for(int i=lena;i>=flag;i--){
if(!a[i])
sum++;
else
break;
}
if(flag-sum<lenb)
return false;
if(flag-sum>lenb)
return true;
//对于位数一样的数，判断是否可减
bool f=1;//是否完全相等
for(int i=lena-sum;i>=1;i--){
if(a[i]>b[i])
return true;
if(a[i]!=b[i])
f=0;
}
if(f)
return true;
else
return false;
}
string div(string a1,string b1){
//前置工作
if(a1=="0")
return "0";
string c1;
int lena=a1.size();
int lenb=b1.size();
//倒序存储并转换为整数类型
for(int i=0;i<lena;i++){
a[lena-i]=a1[i]-'0';
}
for(int i=0;i<lenb;i++){
b[lenb-i]=b1[i]-'0';
}
//开始用减法模拟除法
int flag=lena;//指针，现在到第几位了
int lenc=1;
while(flag){
//printf("%d\n",flag);
if(!check(flag,lena,lenb)){//现在a已经小于b，需要进行下一位的除法
a[flag]=0;
flag--;
continue;
}else{//a还未小于b，继续减
memset(d,0,sizeof(d));
int lend=flag;
while(lend<=lena||lend<=lenb){
d[lend]+=a[lend]-b[lend];
if(d[lend]<0){
d[lend]+=10;
d[lend+1]=-1;
}
lend++;
}
lenc++;
for(int i=flag;i<=lena;i++)
a[i]=d[i];
}
}
//去除前导0
while(!c[lenc])
lenc--;
//把c存到c1里面
while(lenc>=1)
c1+=c[lenc--]+'0';
return c1;
}
int main(){
string a1,b1;
cin>>a1;
cin>>b1;
cout<<div(a1,b1);
return 0;
}
（我那个 \(10\) 分估计是特判 \(0\) 得的？
