今天上课讨论的问题。
求证：任意一个位数为偶数的回文数，都可以被 \(11\) 整除。
PS：此篇仅是笔者对于证明过程的理解，并不是标准的数学证明。
其实是因为笔者太太太菜了所以才需要这一篇文章来帮助理解的 qwq，相信这个简单的问题各位大佬们都没问题
这个证明分为两个部分。
Prat1
首先两位数的回文数一定是 \(11\) 的倍数。为什么呢？观察可得。
我们知道两位的回文数一定是形如这样的：\(aa\)，\(aa \div 11=a\)。由于 \(a\) 一定是一个大于 \(0\) 小于 \(10\) 的整数，所以可以证明两位数的回文数是可以被 \(11\) 整除的。
那么，四位的回文数就可以被这么表示：
\(\overline{abba}\)
然后我们：
\[\begin{equation} \label{eqn2}
\begin{split}
\overline{abba}&=1000a+100b+10b+a\\
&=1001a+110b\\
&=1001a+11\times 10b
\end{split}
\end{equation}
\]
因为 \(11\;|\;11\times 10b\)，所以我们只需证明 \(11\;|\;1001a\) 即可，也就是证明 \(11\;|\;1001\)。
再推广，假设我们已经证明了 \(4\) 位的回文数是 \(11\) 的倍数。
于是 \(6\) 位的回文数就变成了这样：
\[\begin{equation} \label{eqn}
\begin{split}
\overline{abccba}&=100000a+10000b+1000c+100c+10b+a\\
&=100001a+10\times\overline{bccb}
\end{split}
\end{equation}
\]
于是我们只需要证明 \(100001\;|\;11\)。
…………
这么推下去的话，我们会发现，这个过程本来就是一个递归的过程，每一次都把两端的数字去掉后，可以从两位的回文串推回来证明这个去掉两段后的回文数能被 \(11\) 整除。现在我们只需要证明一个问题，那就是：
求证：\(\begin{matrix} \underbrace{ 100\cdots 001 } \\ 2n+2 \end{matrix}\;|\;11\)，其中 \(n\) 为正整数。
Part 2
法一（from ywy）
从上面的推导中我们可以发现中间的 \(0\) 的个数一定是偶数。先列竖式。
\[\qquad 99\cdots\\
\ \ \,\qquad\quad\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
\ \ \,11\ / \quad 100\cdots 001\\
99\\
\ \ \,\qquad\quad\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
\ \ \,\qquad 100\\
\ \ \,\quad\ \, 99\\
\ \ \,\qquad\quad\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
\ \ \,\qquad\quad 100\\
\ \ \,\qquad\quad \cdots\cdots
\]
（\(\LaTeX\) 除法竖式贼不好打……建议还是在自己的本子上列……）
对齐不难发现：每进行一次减法之后，被除数就会少两个 \(0\)，这样，如果中间的 \(0\) 的个数是偶数个，那么最后这些 \(0\) 会被全部消失，剩下两个 \(1\) 组成 \(11\)，于是它就可以被 \(11\) 整除了。
法二（自己想出来的）
\[\begin{equation} \label{eqn3}
\begin{split}
100 \cdots 001 &= 10^{2n+1}+10^{2n}+\ldots +10^1+10^0-\big(10^{2n}+10^{2n-1}+\ldots +10^2+10^1\big)\\
&=(10^{2n+1}+10^{2n})+\ldots +(10^1+10^0)-\big(10^{2n}+10^{2n-1}+\ldots +10^2+10^1\big)\\
&=11 \times 10^{2n} + 11\times 10^{2n-2} + \ldots 11\times 10^0-10\times \big(11\times 10^{2n-2} + 11\times 10^{2n-4} + \ldots 11\times 10^0\big)\\
&=11 \times \Big( 10^{2n} + 10^{2n-2}+ \ldots + 10^2 + 10^0- 10\times \big( 10^{2n-2} + 10^{2n-4} + \ldots 10^0 \big) \Big)
\end{split}
\end{equation}
\]
法三（from tl）
因为 tl 大佬太巨了方法比较难所以导致本蒟蒻没听懂……qwq
就这样吧。
数学 lj 默默离开了战场……
