又臭又长的莫比乌斯总结

断断续续学习了好久的莫比乌斯反演，因为涉及到许多数论知识，所以想写一篇总结，统合一下相关知识点。

 部分内容选自oi-wiki

前置知识

 

积性函数

定义

  若$gcd(x,y)=1$，并且$f(x*y)=f(x)*f(y)$，则函数$f(x)$为积性函数。

举例

  常函数：$I(n)=1$

  单位函数：$\varepsilon (n)=[n=1]$

  欧拉函数：$\varphi (n) = \sum_{1}^{n}[gcd(i,n)==1]$

  (当然，还有很多数论函数也都是积性函数，但在莫比乌斯反演中这三个是较为重要的)

 

 

狄利克雷卷积

定义

  两个数论函数$f(n),g(n)$的迪利克雷卷积为

  $\begin{equation} (f*g)(n)=\sum_{d \mid n}f(d)*g(\frac{n}{d}) \end{equation}$

  当然$(f*g)(n)$也是数论函数

性质

  1 .狄利克雷卷积满足交换律。

  $f*g=g*f$

  2 狄利克雷卷积满足结合律。

  $((f*g)*h)(n)=(f*(g*h))(n)$

证明

  $((f*g)*h)(n)=\sum_{d \mid n}(f*g)(d)*h(\frac{n}{d})$

  $((f*g)*h)(n)=\sum_{d \mid n}h(\frac{n}{d})\sum_{d1 \mid d}f(d1)g(\frac{d}{d1})$

  $((f*g)*h)(n)=\sum_{a*b=n}h(a)\sum_{c*d=b}f(c)g(d))$

  $((f*g)*h)(n)=\sum_{a*c*d=n}h(a)f(c)g(d))=(f*(g*h))(n)$

 

  2 .$\varepsilon$为狄利克雷卷积的单位元，即任何数论函数与$\varepsilon (x)$的卷积都为本身.。

证明

  $(f* \varepsilon)(n)=\sum_{d \mid n}f(d)* \varepsilon(\frac{n}{d})$

  $\because \varepsilon(n)=[n=1]$
  $\therefore (f* \varepsilon)(n)=f(n)$

 

 

狄利克雷卷积的逆函数

定义

  若存在

  $(f*g)(n)= \varepsilon (n)$

  则称$g(n)$为$f(n)$的逆函数，记作$f^{-1}(n)$

性质

  1.积性函数的逆函数也为积性函数。

证明

  设$f(n)$为积性函数，则

  $f(i*j)*f^{-1}(i*j)= \varepsilon$

  $f(i)*f^{-1}(i)*f(j)*f^{-1}(j)= \varepsilon\quad (\varepsilon * \varepsilon = \varepsilon )$

  联立两式可以知道

  $f(i*j)*f^{-1}(i*j)=f(i)*f^{-1}(i)*f(j)*f^{-1}(j)$

  $f^{-1}(i*j)=f^{-1}(i)*f^{-1}(j)$

推导

  常函数$I(n)=1$

  推导常函数的逆函数$I^{-1}(n)$

  $I^{-1}(n)*I(n)= \varepsilon$

  $\sum_{d \mid n}I(d)*I^{-1}(\frac{n}{d})= \varepsilon $

  当$n=1$时

  $I^{-1}(1)=\frac{1}{I(1)}=1$

  当$n!=1$时

  $\sum_{d \mid n}I(d)*I^{-1}(\frac{n}{d})=0$

  $I(1)*I^{-1}(n)+\sum_{d \mid n \&\& d!=1}I(d)*I^{-1}(\frac{n}{d})=0$

  $I^{-1}(n)=\frac{-\sum_{d\mid n \&\& d!=1}\quad I(d)*I^{-1}(\frac{n}{d})}{f(1)}$

  这就是$I^{-1}$的式子了

  我们带入一个素数$p$进行计算

  $I^{-1}(p)=\frac{-I(n)*I^{-1}(1)}{I(1)}=-1$

  带入$p^{2}$

  $I^{-1}(p^{2})=\frac{-(I(p)*I^{-1}(p)+I(p^{2})*I^{-1}(1))}{I(1)}=0$

  同理，推广到$p^{3}...p^{4}$

  $I^{-1}(p^{k})=0$

  则我们随便选一个合数$T$，将$T$分解质因子

  $T=\prod_{i}^{n}p_{i}^{k_{i}}$

  因为积性函数的逆函数也是积性函数，所以

  $I^{-1}(T)=\prod_{i}^{n}I^{-1}(p_{i}^{k_{i}})$

  此处如果有$k_{i}>1$，则$I^{-1}(T)=0$

  否则$I^{-1}(T)=(-1)^{n}$

  $I^{-1}(n)= \begin{cases}1 & n=1\\ 0 & n含有某平方因子\\ -1^{k} &k为n本质不同的质因子个数 \end{cases}$

  $I^{-1}(n)$还有一个名字：莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

定义

  定义莫比乌斯函数$u(u=I^{-1})$，则

$u(n)= \begin{cases}1 & n=1\\ 0 & n含有某平方因子\\ -1^{k} &k为n本质不同的质因子个数 \end{cases}$

性质

$\sum_{d \mid n}u(n)=\left\{\begin{matrix} 1& n=1\\  0& n!=1\end{matrix}\right. $

证明

 $u*I=\varepsilon$

$\sum_{d\mid n}u(d)I(\frac{n}{d})=\varepsilon(n)$

$\sum_{d\mid n}u(d)=\varepsilon(n)$

性质扩展

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d \mid gcd(i,j)}u(d)$

证明

$[gcd(i,j)=1] = \varepsilon (gcd(i,j))\\ [gcd(i,j)=1]= \sum_{d \mid gcd(i,j)}u(d)$

线性筛法求莫比乌斯函数

  通过莫比乌斯函数的通式可以得知，一个素数的莫比乌斯函数值为-1，一个没有平方因子的合数的莫比乌斯函数值为0，那么可以根据定义筛出莫比乌斯函数值。

void init(int n) {
    int len = 0;
    u[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!vis[i])
            pri[++len] = i, u[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= len && i * pri[j] <= n; j++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0)
                break;
            else u[i * pri[j]] = -u[i];
        }
    }
}

  稍微解释一下为什么可以筛出莫比乌斯函数，线性筛在标记合数时，是在合数p的最小质因数x和p/x时标记该合数的。此时可以通过判断p/x是否整除x来确定该合数有无平方因子。

 

莫比乌斯反演

  终于到重头戏了，其实经过上面的前置知识，已经或多或少的了解过莫比乌斯反演了。

定义

  设两个数论函数为$f(n),g(n)$，若满足

$f(n) = \sum_{d \mid n}g(d)$

  那么有

$g(n)=\sum_{d \mid n}u(d)f(\frac{n}{d})$

 这就是莫比乌斯反演的公式

证明

  原式可看成

$f(n) = \sum_{d \mid n}g(d)*I(\frac{n}{d})\quad \quad(f=g*I)$

则

$\begin{aligned}f*u & =g*I*u \\ f*u &= g* \varepsilon \\ f*u&=g\end{aligned}$