[2019杭电多校第五场][hdu6624]fraction

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6624

题意为求最小的b满足$a*b^{-1}\equiv x(modp)$.

把式子化简一下：

$a\equiv b*x(modp)$

$a=b*x-p*y$

$\because 0<a<b$

$\therefore 0<b*x-p*y<b$

$0<b*x-p*y\Rightarrow \frac{p}{x}<\frac{b}{y}$

$b*x-p*y<b\Rightarrow \frac{b}{y}<\frac{p}{x-1}$

$\therefore \frac{p}{x}<\frac{b}{y}<\frac{p}{x-1}$

这样题目就转化成求最小的b，y满足上式。

如果当前$[\frac{p}{x},\frac{p}{x-1}]$之间有整数，则$b=\left \lfloor \frac{p}{x} \right \rfloor+1,y=1$。

如果没有则可以辗转相除来递归求解。

例如：p=11,x=7。

$\frac{11}{7}<\frac{b}{y}<\frac{11}{6}$

则化为真分数后在求倒数。

$\frac{6}{5}<\frac{y}{b-y}<\frac{7}{4}$

再次化为真分数后求倒数。

$\frac{4}{3}<\frac{b-y}{2*y-b}<5$

此时[4/3,5]内有整数，则回溯得到答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
void f(ll a, ll b, ll c, ll d, ll& x, ll& y){
    ll q = a / b + 1;
    if (q <= c / d){
        x = q;
        y = 1;
        return;
    }
    q--;
    a -= q * b; c -= q * d;
    f(d, c, b, a, y, x);
    x += q * y;
    return;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--){
        ll b, y, a, p, x;
        scanf("%lld%lld", &p, &x);
        f(p, x, p, x - 1, b, y);
        a = b * x - y * p;
        printf("%lld/%lld\n", a, b);
    }
    return 0;
}