高等数学 - 导数,偏导数
导数的定义
a) 就是指函数的变化率,即:函数变化的快慢。比如:f(x)=x2,他的导数就是表示f(x)函数的变化率。
b) 函数的导数用f'(x)表示,或,或
都可以
c) 函数有很多:比如:三角函数,抛物线函数,指数函数(幂函数),对数函数等等,都能够求导数
d) 导数他本身其实也是一个函数。那导数还能再求导数吗?可以,导数的导数叫二阶导数,如果要深入了解,自己百度。
求了导数能用来干嘛?
a) 可以用于求函数的极值(即:函数在哪里有最大值或最小值),比如上面的:f(x)=x2的极值
b) 导数值为正,函数值在增加;导数值为负,函数值在减小;导数值为0的时候,函数值最大或最小;
求导示例
1) 求f(x)=x2的导数
f'(x) = df(x)/dx = f(x+Δx) - f(x) / Δx = (x+Δx)2 - x2 / Δx = Δx2+2*x*Δx / Δx = Δx + 2*x ≈ 2*x,
为啥最后Δx省略掉了?因为Δx是一个极限(Δx→0)
所以,x=0的时候,函数f(x)有极值,那是最大还是最小值呢?我们看下x=-1时的导数值为-2,表示函数值是在减小的,所以0是最小值。
2) 求f(x)=√(2*x-x2)的导数
这个就比较复杂一点了,涉及到开根号的一元二次方程,这样的函数我们可以叫做复合函数。
求复合函数的导数一般会涉及到用链式法则。
a) 令g(x)=2*x-x2,则
b) 根据幂数函数导数公式:
c)
d) 所以,
3) 求f(x)=√x+2的导数
a) 令g(x)=x+2,则
b) 和上面一样
c)
d) 所以,
4) 性质
a) 一元函数的导数为变量前的系数,如:f(x)=a*x+b,导数就是a
b) 常量的导数为0
偏导数
a) 其实就是导数,导数是针对一元函数的,偏导数是针对多元函数的导数叫法。
b) 偏导数用f'(x, y)表示,或(其中x表示变的那个变量)
b) 那为啥要加一个偏字呢?因为他要固定其他变量,只让其中的一个变量变化。表示偏心?偏向?
比如:f(x, y)=x^2+y^2
该函数关于x的偏导数(y固定):∂f(x, y) / ∂x = f(x+Δx, y) - f(x, y) / Δx = (x+Δx)2 + y^2 - (x^2+y^2) / Δx = Δx^2+2*x*Δx / Δx = Δx + 2*x ≈ 2*x
该函数关于y的偏导数(x固定):∂f(x, y) / ∂y = f(x, y+Δy) - f(x, y) / Δy = x2 + (y+Δy)^2 - (x^2+y^2) / Δy = Δy^2+2*y*Δy / Δy = Δy + 2*y ≈ 2*y
参考