高等数学 - 导数，偏导数

导数的定义

a) 就是指函数的变化率，即：函数变化的快慢。比如：f(x)=x²，他的导数就是表示f(x)函数的变化率。

b) 函数的导数用f'(x)表示，或，或都可以

c) 函数有很多：比如：三角函数，抛物线函数，指数函数(幂函数)，对数函数等等，都能够求导数

高中所学的导数公式大全 (baidu.com)

d) 导数他本身其实也是一个函数。那导数还能再求导数吗？可以，导数的导数叫二阶导数，如果要深入了解，自己百度。

 

求了导数能用来干嘛？

a) 可以用于求函数的极值（即：函数在哪里有最大值或最小值），比如上面的：f(x)=x²的极值

b) 导数值为正，函数值在增加；导数值为负，函数值在减小；导数值为0的时候，函数值最大或最小；

 

求导示例

1) 求f(x)=x²的导数

假设变化前的函数值为f(x), 变化后的函数值为f(x1)，（x1→x：x1是无线接近x的一个极限），因为导数是函数的变化率，所以导数为：f'(x) = ( f(x1) - f(x) ) / (x1 - x)

x1和x代入函数后：= (x1^2 - x^2) / (x1 - x) = (x1 - x) * (x1 + x) / (x1 - x) = x1 + x

当x1=x时，即为函数在x处的变化率，即：f'(x) = 2*x

所以，x=0的时候，函数f(x)有极值，那是最大还是最小值呢？我们看下x=-1时的导数值为-2，表示函数值是在减小的，所以0是最小值。

 

 

2) 求f(x)=√(2*x-x²)的导数

这个就比较复杂一点了，涉及到开根号的一元二次方程，这样的函数我们可以叫做复合函数。

求复合函数的导数一般会涉及到用链式法则。

a) 令g(x)=2*x-x²，则

b) 根据幂数函数导数公式：

c) 

d) 所以，

 

 

3) 求f(x)=√x+2的导数

a) 令g(x)=x+2，则

b) 和上面一样

c) 

d) 所以, 

 

 

4) 性质

a) 一元函数的导数为变量前的系数，如：f(x)=a*x+b，导数就是a

b) 常量的导数为0

 

 

偏导数

a) 其实就是导数，导数是针对一元函数的，偏导数是针对多元函数的导数叫法。

b) 偏导数用f'(x, y)表示，或(其中x表示变的那个变量)

b) 那为啥要加一个偏字呢？因为他要固定其他变量，只让其中的一个变量变化。表示偏心？偏向？

比如：f(x, y)=x^2+y^2

该函数关于x的偏导数(y固定)：∂f(x, y) / ∂x = f(x+Δx, y) - f(x, y) / Δx = (x+Δx)² + y^2 - (x^2+y^2) / Δx =  Δx^2+2*x*Δx / Δx = Δx + 2*x ≈ 2*x

该函数关于y的偏导数(x固定)：∂f(x, y) / ∂y = f(x, y+Δy) - f(x, y) / Δy = x² + (y+Δy)^2 - (x^2+y^2) / Δy =  Δy^2+2*y*Δy / Δy = Δy + 2*y ≈ 2*y

 

参考

什么是微积分 - 知乎 (zhihu.com)

数学基础之梯度 - 知乎 (zhihu.com)

微积分入门——导数入门 - 知乎 (zhihu.com)

怎么求根号下（2x-x^2）的导数（不会套 – 手机爱问 (sina.com.cn)

根号1x的导数怎么求导 - 微百科 (86580.cn)

复合函数求导法则 (baidu.com)