高数 - 极限, 微分, 积分

微分

把x分成非常多的n份(记做dx)，这样每一份都无穷小，求出这个无穷小的一份的函数值即为微分，记做dy。

微分=导数*dx

 

积分

把无穷小的n份累加起来。积分的符号为∫(sum的s拉长而来)。

记做：其中f(x)表示被积函数。计算积分的时候，会先根据f(x)求出原函数（因为：f(x)是原函数的导数，所以用导数逆运算就能求出原函数了），然后再利用牛顿—莱布尼兹公式求积分结果。

 

微积分

a) 微积分=微分+积分。

b) 他有有什么意义？

微分，积分的过程中，我们会运用各种公式，然后在过程中会把这个n份给约掉或忽略掉。这就是微积分思想的魔法之处，变量n最终会没有。

c) 微积分求出的结果不是一个精确值，只是一个非常接近的值，两个值之间的误差可以忽略的那种。

 

示例A：

已知抛物线函数f(x)=x²，求抛物线与x轴，在[0, x1]区间围成的面积。

利用微积分思想，我们可以把面积转换成用非常多的n个矩形的面积相加来模拟。

每个矩形的宽：x1/n

矩形的高：第1个(x1/n)²，第2个(2*x1/n)²，第3个(3*x1/n)²，以此类推

最终将这些矩形面积累加就是要求的面积：

因为n非常大，所以x1³/2n和x1³/6n²可以当成0忽略掉，最终S=1/3*x1³

 

用积分的方法表示就是：

  S = ∫x²*dx

那积分怎么求呢？

  求积分的方法很多，有：基本积分法，换元积分法，分部积分法，数值积分法等。

  数值积分法一般是在函数很复杂，没法直接求解时用，他是用插值的方法求出来一个精度很高的近似值。

  这里的函数比较简单，就是常见的幂函数，所以用基本积分法查公式就行。

  根据公式可得：S = ∫ x²*dx = x⁽²⁺¹⁾ / (2+1) + C = 1/3*x³ + C，其中C为积分常数（表示任意常数，不需要知道具体值是多少，根据不同的区间会取不同的值）

 

 

极限

无限趋近某个值，但又不是那个值。他是用来替代无限小这个概念的，因为数学家觉得无限小的概念不够严谨，所以又创造了极限这个概念来重新定义非常接近这样的概念。

用法上貌似也没啥区别。

有函数y=f(x), 在x0处的值为a, 函数f(x)在x0处的极限记做：

 

  

参考

也谈微积分 - 知乎 (zhihu.com)

什么是微积分 - 知乎 (zhihu.com)

微积分入门——导数入门 - 知乎 (zhihu.com)

微积分入门——积分入门 - 知乎 (zhihu.com)

导数和微分的关系 - 知乎 (zhihu.com)

揭开原函数、不定积分、定积分的神秘面纱！ (baidu.com)

求解定积分方法汇总 - 知乎 (zhihu.com)