高数 - 极限, 微分, 积分
微分
把x分成非常多的n份(记做dx),这样每一份都无穷小,求出这个无穷小的一份的函数值即为微分,记做dy。
微分=导数*dx
积分
把无穷小的n份累加起来。积分的符号为∫(sum的s拉长而来)。
记做:其中f(x)表示被积函数。计算积分的时候,会先根据f(x)求出原函数(因为:f(x)是原函数的导数,所以用导数逆运算就能求出原函数了),然后再利用牛顿—莱布尼兹公式求积分结果。
微积分
a) 微积分=微分+积分。
b) 他有有什么意义?
微分,积分的过程中,我们会运用各种公式,然后在过程中会把这个n份给约掉或忽略掉。这就是微积分思想的魔法之处,变量n最终会没有。
c) 微积分求出的结果不是一个精确值,只是一个非常接近的值,两个值之间的误差可以忽略的那种。
示例A:
已知抛物线函数f(x)=x2,求抛物线与x轴,在[0, x1]区间围成的面积。
利用微积分思想,我们可以把面积转换成用非常多的n个矩形的面积相加来模拟。
每个矩形的宽:x1/n
矩形的高:第1个(x1/n)2,第2个(2*x1/n)2,第3个(3*x1/n)2,以此类推
最终将这些矩形面积累加就是要求的面积:
因为n非常大,所以x13/2n和x13/6n2可以当成0忽略掉,最终S=1/3*x13
极限
无限趋近某个值,但又不是那个值。他是用来替代无限小这个概念的,因为数学家觉得无限小的概念不够严谨,所以又创造了极限这个概念来重新定义非常接近这样的概念。
用法上貌似也没啥区别。
有函数y=f(x), 在x0处的值为a, 函数f(x)在x0处的极限记做:
参考