poj1830 开关问题[高斯消元]
其实第一反应是双向BFS或者meet in middle，$2^{14}$的搜索量，多测，应该是可以过的，但是无奈双向BFS我只写过一题，已经不会写了。
发现灯的操作情况顺序不影响结果，因为操作相当于在固定位进行xor运算，xor是可以随便交换的，所以顺序无所谓。
那么情况取决于每盏灯是否被操作过。设这个量为未知量$x_i$。于是可以设计方程，对于每个灯，有
$begin \text{xor} x_1 a_{1,1} \text{xor} x_2 a_{2,1} \text{xor} ... \text{xor} x_n a_{n,1} = end$
就是初始状态经过每一个灯对他的异或（这个异或是灯$i$是否操作乘上灯$i$是否影响这个灯，取$0/1$），最后得最终状态。
把$begin$初状态移到右边去。仿照高消内容，然后从第一个未知数开始消就行。
最后要问有多少种方案，也就是有多少个自由元可以随便取$0/1$，那答案就是$2^{自由元个数}$。否则全零系数的等式右边是$1$就无解。
感谢hkk上午给我讲无穷多解和无解的判断，不然我就要磕一下午了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl 7 using namespace std; 8 typedef long long ll; 9 typedef double db; 10 typedef pair<int,int> pii; 11 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;} 12 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;} 13 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,1):0;} 14 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,1):0;} 15 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;} 16 template<typename T>inline T read(T&x){ 17 x=0;int f=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=1; 18 while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();return f?x=-x:x; 19 } 20 int A[33],bin[33]; 21 int T,n,x,y,c,ans; 22 23 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.out","w",stdout); 24 for(register int i=0;i<=30;++i)bin[i]=1<<i; 25 read(T);while(T--){ 26 read(n);ans=0; 27 memset(A,0,sizeof A); 28 for(register int i=1;i<=n;++i)read(x),A[i]|=x<<n; 29 for(register int i=1;i<=n;++i)read(x),A[i]^=x<<n; 30 while(read(x),read(y))A[y]|=bin[x-1]; 31 for(register int i=1;i<=n;++i)A[i]|=bin[i-1]; 32 for(x=1,c=1;c<=n;++c){//dbg(c),dbg(x),dbg(A[x]); 33 for(y=x;y<=n&&!(bin[c-1]&A[y]);++y); 34 if(y==n+1)continue; 35 swap(A[x],A[y]); 36 for(register int l=1;l<=n;++l)if((l^x)&&(A[l]&bin[c-1]))A[l]^=A[x]; 37 ++x; 38 } 39 for(register int i=x;i<=n;++i){ 40 if(A[i]&bin[n])ans=-114514; 41 else ++ans; 42 } 43 if(ans<0)puts("Oh,it's impossible~!!"); 44 else printf("%d\n",1<<ans); 45 } 46 return 0; 47 }
Upd:这种题也可以用暴力枚举加小技巧优化来做，lyd书上在比较开头的地方有提到（“费解的开关”这题），复杂度$O(nm2^m)$。
