分支界定法详解

分支界定法是求解整数线性规划最优解的经典方法。

定义：

　　对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分支与界定的内容。通常把全部解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，若某个已知可行解集的目标值不能达到当前的界限，则将这个子集舍去。这样，许多子集不予考虑，这称为剪枝。这就是分枝界限法的思路。

背景：

　　分枝界限法可以用于求解纯整数或混合的整数规划问题。在上世纪六十年代由Land Doig和Dakin等人提出。这种方法灵活且便于用计算机求解，目前已经成功运用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。

思路：

　　设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题时B。从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z^*的上界，记作z¯；而z的任意可行解的目标函数值将是z的一个下界z_。分枝界定法就是把B的可行域分成子区域的方法。逐步减小z¯和增大z_。最终求到z^*。

举例：