高次同余方程

求解 $a^x\equiv b(\mod p)$.

大步小步算法，$BSGS（baby-step giant-step）$，要求 $gcd(a,p)=1$，可在 $O(\sqrt p)$ 时间复杂度内求解。

在 $p<=10^{16}$ 时没有大问题。

方程的解满足 $0<=x<p$.

令 $t=\left \lceil \sqrt p \right \rceil,0<=j<t,x=i*t-j$，则 $a^{i*t-j}\equiv b(\mod p)$.

两边同时乘上 $a^j$ 可得，$a^{i*t}\equiv ba^j(\mod p)$.

对于所有的 $j\in [0,t-1]$，将 $ba^j$ 插入 $hash/map$ 中。

枚举所有的 $i\in[0,t]$，查找表中是否存在 $a^{i*t}$，若存在则可以得到对应的 $j$ 与 $x=i*t-j$.

inline int BSGS(int a,int b,int p){
    a%=p;
    b%=p;
    if(b==1)return 0;
    mp.clear();
    int t=sqrt(p)+1,re=1;/*初值a^0*/
    for(int i=0;i<t;i++)mp[re*b%p]=i,(re*=a)%=p;/*依次插入b*a^i*/
    a=re;/*re=a^t%p*/
    re=1;
    for(int i=0;i<=t;i++){
        int j=mp.find(re)==mp.end()?-1:mp[re];
        if(j>=0&&i*t-j>=0)return i*t-j;
        (re*=a)%=p;
    }
    return -1;
}

扩展BSGS算法

求解 $a^x\equiv b(\mod p)$，$gcd(a,p)\not=1$.

将不互质的情况转化为互质的情况，设 $g=gcd(a,p)$，两边同时除以 $g$.

得到，$\frac{a^x}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mod \frac{p}{g})$，即 $a^{x-1}\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}(\mod \frac{p}{g})$.

当 $g\not\mid b$ 且 $b\not=1$ 时无解。

一直递归直到 $gcd(a,p)=1$，假设一共递归了 $cnt$ 次，设 $d=\prod_{i=1}^{k}g_i$.

原式即，$a^{x-cnt}\frac{a^{cnt}}{d}\equiv \frac{b}{d}(\mod \frac{p}{g})$.

于是用 $a,\frac{b}{g},\frac{p}{g}$ 做 $BSGS$ ，注意还有一个系数 $\frac{a^{cnt}}{d}$ 要乘进去，出入 $BSGS$ 中。

inline int BSGS(int a,int b,int p,int ad){
    a%=p,b%=p;
    mp.clear();
    int t=sqrt(p)+1,re=1;
    for(int i=0;i<t;i++)mp[re*b%p]=i,(re*=a)%=p;
    a=re;
    re=ad;
    for(int i=0;i<=t;i++){
        int j=mp.find(re)==mp.end()?-1:mp[re];
        if(j>=0&&i*t-j>=0)return i*t-j;
        (re*=a)%=p;
    }
    return -1;
}
inline int exBSGS(int a,int b,int p){
    a%=p;
    b%=p;
    if(b==1||p==1)return 0;/*特判*/
    int cnt=0,g=gcd(a,p),ad=1;
    while(g>1){
        if(b%g)return -1;/*判断无解*/
        cnt++;/*累加次数*/
        b/=g;
        p/=g;
        (ad*=a/g)%=p;/*更新系数*/
        if(ad==b)return cnt;/*ad=b则前面的一项a的指数为0，直接返回cnt*/
        g=gcd(a,p);
    }
    int ans=BSGS(a,b,p,ad);
    if(ans==-1)return -1;
    return ans+cnt;
}

也可以不将系数传进去，将 $b$ 乘上系数的逆元即可，注意用 $exgcd$ 计算。

inline int inv(int a,int p){
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}
inline int BSGS(int a,int b,int p){
    a%=p,b%=p;
    mp.clear();
    int t=sqrt(p)+1,re=1;
    for(int i=0;i<t;i++)mp[re*b%p]=i,(re*=a)%=p;
    a=re;
    re=1;
    for(int i=0;i<=t;i++){
        int j=mp.find(re)==mp.end()?-1:mp[re];
        if(j>=0&&i*t-j>=0)return i*t-j;
        (re*=a)%=p;
    }
    return -1;
}
inline int exBSGS(int a,int b,int p){
    a%=p;
    b%=p;
    if(b==1||p==1)return 0;
    int cnt=0,g=gcd(a,p),ad=1;
    while(g>1){
        if(b%g)return -1;
        cnt++;
        b/=g;
        p/=g;
        (ad*=a/g)%=p;
        if(ad==b)return cnt;
        g=gcd(a,p);
    }
    int ans=BSGS(a,b*inv(ad,p)%p,p);/*乘上系数的逆元*/
    if(ans==-1)return -1;
    return ans+cnt;
}