线性同余方程

形如 $ax\equiv b(\mod n)$ 的方程称为线性同余方程，从区间 $[0,n-1]$ 中求解 $x$.

逆元求解。

假设 $gcd(a,n)=1$，两边同时乘上 $a^{-1}$ 即可。

设 $g=gcd(a,n)$，左侧始终可以 被 $g$ 整除，若右侧不可则无解。

若右侧可以被 $g$ 整除，则将 $a,b,n$ 同时除以 $g$，得到 $a'x\equiv b'(\mod n')$.

此时 $gcd(a',n')=1$，回到上面的情况。

所以解为 $x\equiv x'+i*n'(\mod n),i\in[0,g-1]$，个数为 $g$ 个或 $0$ 个。

扩展欧几里得算法求解。

方程可以写成 $ax+nk= b$，有解的充要条件是 $gcd(a,n)|b$.

先算出 $ax_0+nk_0=gcd(a,n)$，之后两边同时除以 $gcd(a,n)$ 再乘上 $b$ 即为一组解。

即 $a=\frac{x_0}{gcd(a,n)}b,k=\frac{k_0}{gcd(a,n)}b$.

若 $gcd(a,n)=1,ax+nk=b$ 的一组特解为 $x_0,k_0$，则任意解可以写成 $x=x_0+nt,k=k_0-at,t$ 为任意整数。

对于求一个最小整数解，$x=(x\mod t+t)\mod t,t=\frac{n}{gcd(a,n)}$

P2613 【模板】有理数取余

给定 $a,b,p$，求 $c=\frac{a}{b}(\mod p),0<=a<=10^{10001},1<=b<=10^{10001}$.

读入过大，但是是同余方程，可以在读入时将其进行取模，当 $b$ 是 $p$ 的倍数时不存在逆元，分母为零，无解。

constexpr int N=5e6+6,mod=19260817;
template<class T>inline T readmod(T&x){
    char c=getchar();x=0;
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),x%=mod,c=getchar();
    return x;
}
signed main(){
    int a,b,x,y;
    readmod(a),readmod(b);
    if(b==0){
        cout<<"Angry!";
        return 0;
    }
    exgcd(b,mod,x,y);
    x=(x%mod+mod)%mod;
    cout<<a*x%mod;
    return 0;
}

P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)

求解二元一次不定方程 $ax+by=c$.

首先找到特解 $ax+by=c$，假设将 $x$ 扩大为 $x+p$，$y$ 缩小为 $y-q$.

则有，$a(x+p)+b(y-q)=c,ax+by=c$.

解得，$p=\frac{bq}{a},q=\frac{ap}{b}$，由于需要获得最小的正整数，所以 $a|bq,b|ap$.

故，$b*q_{min}=a*p_{min}=lcm(a,b)=\frac{ab}{gcd(a,b)}$.

可以得到 $p_{min}=\frac{b}{g},q_{min}=\frac{a}{g}$，也就是 $x,y$ 的最小增幅。

考虑将 $x$ 调整至最小正整数解。

假设 $x<0$，设 $x+kp>=1$，则 $k>=\left \lceil \frac{1-x}{p} \right \rceil$.

若 $x>1$，则 $k=\left \lfloor \frac{x-1}{p} \right \rfloor$.

若 $x$ 为最小正整数时 $y>0$，则正整数解的个数为 $\left \lfloor \frac{y-1}{q} \right \rfloor +1$.

注意调整 $x,y$ 是应该系数在前面，$p,q$ 在后面，来避免上下取整造成的误差与错误。

    while(t--){
        int a,b,c,x,y;
        cin>>a>>b>>c;
        int g=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%g){
            cout<<-1<<'\n';
            continue;
        }
        x*=c/g;
        y*=c/g;
        int p=b/g,q=a/g,k;
        if(x<0){
            k=ceil((1.0-x)/p);
            x+=k*p;
            y-=k*q;
        }
        else{
            k=(x-1)/p;
            x-=k*p;
            y+=k*q;
        }
        if(y>0)cout<<(y-1)/q+1<<' '<<x<<' '<<(y-1)%q+1<<' '<<x+(y-1)/q*p<<' '<<y<<'\n';
        else cout<<x<<' '<<y+(int)ceil((1.0-y)/q)*q<<'\n';/*注意要对ceil强制转换才能当做系数*/
    }