数论 - 随笔分类 - 半步蒟蒻

康拓展开

摘要：康拓展开用于求一个排列在所有排列中的排名。也常用与哈希。

r a n k = \sum_{i = 1}^{n} s u m_{a_{i}} (n - i)!

$rank=\sum_{i=1}^{n}sum_{a_i}(n-i)!$ ，其中

s u m_{a_{i}}

$sum_{a_i}$ 表示在

i

$i$ 之后的，且值比

a_{i}

$a_i$ 小的数的个数。对于排名，一位一位进行考虑。设当前考虑到第

i

$i$ 位，比

a_{i}

$a_i$ 小阅读全文

posted @ 2022-11-20 21:43 半步蒟蒻阅读(27) 评论(0) 推荐(1) 编辑

光速幂

摘要：光速幂，在

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt n)$ 的时间复杂度内预处理，以

O (1)

$O(1)$ 的时间复杂度求幂，用于求解同一底数和模数，多次求幂。假设底数为

x

$x$ ，模数为

p

$p$ ，首先预处理

x^{0}, x^{1}, x^{2} . . . x^{\sqrt{n}}

$x^0,x^1,x^2...x^{\sqrt n}$ ，再预处理 $x^0,x^{\sqrt n},x^{2\sqrt 阅读全文

posted @ 2022-11-20 16:15 半步蒟蒻阅读(279) 评论(0) 推荐(3) 编辑

高次同余方程

摘要：求解

a^{x} \equiv b (\mod p)

$a^x\equiv b(\mod p)$ . 大步小步算法，

B S G S （ b a b y - s t e p g i a n t - s t e p ）

$BSGS（baby-step giant-step）$ ，要求

g c d (a, p) = 1

$gcd(a,p)=1$ ，可在

O (\sqrt{p})

$O(\sqrt p)$ 时间复杂度内求解。在

p <= 10^{16}

$p<=10^{16}$ 时没有大问题。方程的解满足

0 <= x < p

$0<=x<p$ . 令 $t=\ 阅读全文

posted @ 2022-11-20 15:41 半步蒟蒻阅读(74) 评论(0) 推荐(1) 编辑

卢卡斯定理

摘要：####Lucas定理用于求解大组合数取模且模数为质数的情况。定理，$\binom{n}{m}=\binom{\left \lfloor \frac{n}{p}\right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{p}\right \rfloor}*\binom{n\mo 阅读全文

posted @ 2022-11-20 14:47 半步蒟蒻阅读(75) 评论(0) 推荐(1) 编辑

中国剩余定理

摘要：中国剩余定理，

C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m, C R T

$Chinese Remainder Theorem, CRT$ ，用于求解模数两两互质的一元线性同余方程组。

x \equiv a_{1} (\mod n_{1})

$x\equiv a_1(\mod n_1)$

x \equiv a_{2} (\mod n_{2})

$x\equiv a_2(\mod n_2)$

x \equiv a_{k} (\mod n_{k})

$x\equiv a_k(\mod n_k)$ 计算所有模数的积

n

$n$ . 对于阅读全文

posted @ 2022-11-20 12:09 半步蒟蒻阅读(94) 评论(0) 推荐(1) 编辑

线性同余方程

摘要：形如

a x \equiv b (\mod n)

$ax\equiv b(\mod n)$ 的方程称为线性同余方程，从区间

[0, n - 1]

$[0,n-1]$ 中求解

x

$x$ . 逆元求解。假设

g c d (a, n) = 1

$gcd(a,n)=1$ ，两边同时乘上

a^{- 1}

$a^{-1}$ 即可。设

g = g c d (a, n)

$g=gcd(a,n)$ ，左侧始终可以被

g

$g$ 整除，若右侧不可则无解。若右侧可以被 $ 阅读全文

posted @ 2022-11-20 08:49 半步蒟蒻阅读(125) 评论(0) 推荐(1) 编辑

乘法逆元

摘要：若线性同余方程

a x \equiv 1 (\mod b)

$ax\equiv1(\mod b)$ ，则称

x

$x$ 为

a \mod b

$a\mod b$ 时的逆元，记作

a^{- 1}

$a^{-1}$ 。扩展欧几里得求逆元。要求

g c d (a, b) = 1

$gcd(a,b)=1$ . int exgcd(int a,int b,int&x,int&y){ if(!b)return x=1,y=0,a; 阅读全文

posted @ 2022-11-19 21:43 半步蒟蒻阅读(39) 评论(0) 推荐(1) 编辑

裴蜀定理

摘要：裴蜀定理，又名贝祖定理。对于整数

(a, b)

$(a,b)$ ，一定存在整数

(x, y)

$(x,y)$ ，满足

a x + b y = g c d (a, b)

$ax+by=gcd(a,b)$ . 推广到多个式子也一样成立。 P4549 【模板】裴蜀定理给定一个序列

a_{i}

$a_i$ ，构造一个等长的序列

x_{i}

$x_i$ ，使得

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} * x_{i}

$\sum_{i=1}^{n}{a_i*x_i}$ 最阅读全文

posted @ 2022-11-19 20:54 半步蒟蒻阅读(240) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉函数

摘要：欧拉函数欧拉函数

ϕ (n)

$\phi(n)$ 表示小于等于

n

$n$ 的和

n

$n$ 互质的数的个数。求一个数

n

$n$ 的欧拉函数，设将

n

$n$ 质因数分解后的质因数集合为

p_{1... m}

$p_{1...m}$ ，则

ϕ (n) = n * \prod_{i = 1}^{m} \frac{p_{i} - 1}{p_{i}}

$\phi(n)=n*\prod_{i=1}^{m}\frac{p_i-1}{p_i}$ . inline 阅读全文

posted @ 2022-11-19 18:11 半步蒟蒻阅读(78) 评论(7) 推荐(2) 编辑

数论分块

摘要：数论分块对于含有除法向下取整的式子，可以使用数论分块，将

⌊ \frac{n}{i} ⌋

$\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ 相同的数统一计算。使式子 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac 阅读全文

posted @ 2022-11-19 17:49 半步蒟蒻阅读(21) 评论(0) 推荐(2) 编辑

最大公约数

摘要：最大公约数欧几里得算法对于两个数

a, b

$a,b$ ，设

a > b

$a>b$ ，当

a

$a%b==0$ 时，答案为

b

$b$ 。否则，设

a = b * q + r, r < b

$a=b*q+r,r<b$ ，则

g c d (a, b) = g c d (b, a

$gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$ ，时间复杂度

O (\log N)

$O(\log N)$ 递归写法 int gcd(int x,int y){ return 阅读全文

posted @ 2022-11-19 17:28 半步蒟蒻阅读(204) 评论(3) 推荐(1) 编辑

质数

摘要：积性函数若函数

f (1) = 1

$f(1)=1$ ，并且对于

g c d (x, y) = 1, f (x y) = f (x) * f (y)

$gcd(x,y)=1,f(xy)=f(x)*f(y)$ ，则

f (i)

$f(i)$ 为积性函数。若函数

f (1) = 1

$f(1)=1$ ，并且

f (x y) = f (x) * f (y)

$f(xy)=f(x)*f(y)$ ，则

f (i)

$f(i)$ 为完全积性函数。除数函数，欧拉函数为积性函数。判断单个素数 inline 阅读全文

posted @ 2022-11-19 16:48 半步蒟蒻阅读(116) 评论(5) 推荐(2) 编辑

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