【JZOJ4638】第三条跑道
Description
Solution
这题码农，表示又被出题人虐了。
我们发现
ai
以及
x
都小于等于600，于是我们可以分解质因数，我们看看部分质数表：
这说明600以内的指数只有109个（那么这里有只HowarLi翻车了）。
于是我们用线段树，对于每个区间记录109个质数被该区间多少个数包含。
由于要区间修改，我们再记录109个
那么，现在我们知道
φ(n)=n∏mi=1(1−1pi)
（
pi
表示的
n
质因数，
观察上面的式子，一个很显然的结论是 φ(pn)=pφ(n)(p|n) （这里 p 是质因数）
那如果
那么
那么至于区间乘上一个数
x
，先给它分解质因数，得出
对于一个质因数 xi ，我们已知该区间有 Axi 个数包含它，那么它们对欧拉积的贡献为： xAxii 。
但是，没有包含的怎么办？由上可得，没有包含的将乘上一个 (xi−1) ，所以该区间没有被包含的对欧拉积的贡献就为： (xi−1)r−l+1−Axi 。
最后给修改的区间打上 lazy 标记即可。
但是，怎样下传标记？
我们对于一个区间有
lazyi
表示第
i
个质数还要下传多少次。那么，我们先给这个区间下传一次，具体下传请看上述修改部分。然后，由于还要下传
对于查询，直接找到区间欧拉积即可。
时间复杂度：
然而，这题看似容易，实际上打对调对需要花费大量时间。
可以打一个线性筛法求 φ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">φ</script>来方便调试。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 10010
#define M 601
#define mo 100000007
#define ll long long
using namespace std;
int pr[M],cnt=0,phi[M];
int a[N];
bool bz[M];
struct node{
int a[120];
int lz[120];
ll s;
}tr[N*4];
int ph[N],s1[N],s2[N];
int ls[120];
int map[M];
ll pow(ll m,int n)
{
ll b=1;
while(n)
{
if(n%2==1) b=b*m%mo;
n/=2;
m=m*m%mo;
}
return b;
}
void pre()
{
int cnt=0;
for(int i=2;i<M;i++)
{
if(!bz[i]) pr[++cnt]=i,map[i]=cnt,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt && i*pr[j]<M;j++)
{
bz[i*pr[j]]=true;
if(i%pr[j]==0)
{
phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
break;
}
else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
}
}
}
void get(int v,int x)
{
int z=0,t=x;
while(x)
{
z++;
if(pr[z]*pr[z]>t) break;
if(x%pr[z]==0)
{
tr[v].a[map[pr[z]]]=1;
while(x%pr[z]==0) x/=pr[z];
}
}
if(x>1) tr[v].a[map[x]]=1;
}
void getlazy(int v,int x)
{
int z=0,t=x;
while(x)
{
z++;
if(pr[z]*pr[z]>t) break;
if(x%pr[z]==0)
{
while(x%pr[z]==0) tr[v].lz[map[pr[z]]]++,ls[map[pr[z]]]++,x/=pr[z];
}
}
if(x>1) tr[v].lz[map[x]]++,ls[map[x]]++;
}
void put(int v,int l,int r)
{
int mid=(l+r)/2;
fo(i,1,109)
{
if(!tr[v].lz[i]) continue;
tr[v*2].s=tr[v*2].s*pow(pr[i],tr[v*2].a[i])%mo*pow(pr[i]-1,mid-l+1-tr[v*2].a[i])%mo;
tr[v*2+1].s=tr[v*2+1].s*pow(pr[i],tr[v*2+1].a[i])%mo*pow(pr[i]-1,r-mid-tr[v*2+1].a[i])%mo;
tr[v*2].a[i]=mid-l+1;
tr[v*2+1].a[i]=r-mid;
tr[v*2].s=tr[v*2].s*pow(pow(pr[i],mid-l+1),tr[v].lz[i]-1)%mo;
tr[v*2+1].s=tr[v*2+1].s*pow(pow(pr[i],r-mid),tr[v].lz[i]-1)%mo;
tr[v*2].lz[i]+=tr[v].lz[i];
tr[v*2+1].lz[i]+=tr[v].lz[i];
tr[v].lz[i]=0;
}
}
void build(int v,int l,int r)
{
if(l==r)
{
get(v,a[l]);
tr[v].s=phi[a[l]];
return;
}
int mid=(l+r)/2;
build(v*2,l,mid);
build(v*2+1,mid+1,r);
fo(i,1,109)
tr[v].a[i]=tr[v*2].a[i]+tr[v*2+1].a[i];
tr[v].s=tr[v*2].s*tr[v*2+1].s%mo;
}
void change(int v,int l,int r,int x,int y,int p)
{
if(l==x && r==y)
{
getlazy(v,p);
fo(i,1,109)
if(ls[i])
{
tr[v].s=tr[v].s*pow(pr[i],tr[v].a[i])%mo*pow(pr[i]-1,r-l+1-tr[v].a[i])%mo;
tr[v].a[i]=r-l+1;
tr[v].s=tr[v].s*pow(pow(pr[i],r-l+1),ls[i]-1)%mo;
ls[i]=0;
}
return;
}
put(v,l,r);
int mid=(l+r)/2;
if(y<=mid) change(v*2,l,mid,x,y,p);
else if(x>mid) change(v*2+1,mid+1,r,x,y,p);
else
{
change(v*2,l,mid,x,mid,p);
change(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,p);
}
fo(i,1,109)
tr[v].a[i]=tr[v*2].a[i]+tr[v*2+1].a[i];
tr[v].s=tr[v*2].s*tr[v*2+1].s%mo;
}
ll ans=1;
void find(int v,int l,int r,int x,int y)
{
if(l==x && r==y)
{
ans=ans*tr[v].s%mo;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
put(v,l,r);
if(y<=mid) find(v*2,l,mid,x,y);
else if(x>mid) find(v*2+1,mid+1,r,x,y);
else
{
find(v*2,l,mid,x,mid);
find(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
}
}
int main()
{
freopen("2.in","r",stdin);
freopen("2.out","w",stdout);
pre();
phi[1]=1;
int n,T;
cin>>n;
fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
cin>>T;
while(T--)
{
int z,l,r;
scanf("%d %d %d",&z,&l,&r);
if(!z)
{
int x;
scanf("%d",&x);
change(1,1,n,l,r,x);
}
else
{
ans=1;
find(1,1,n,l,r);
printf("%lld\n",ans);
}
}
}